重点提分 B 本@第 21 章四边形 提分专题（四）正方形中常见的几何模型 类型 1 手拉手模型 1.如图，在正方形 外取一点 ，连接 , , .过点 作 的垂线交 于点 ， = = 1， = 3 .下列结论：① ⊥ ；②点 到直线 2的距离为 ；③ 2 △ + △ = 2+1 .其中正确结论的序号是( ) 2 A.①③ B.①②③ C.②③ D.①② 2.如图（1），已知正方形 和正方形 有公共顶点 ，连接 ， . 图（1） 图（2） （1）请判断 与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论. （2）如图（2），已知 = 4， = 2，当点 在边 上时，求 的长. 29/44 重点提分 B 本@第 21 章四边形 类型 2 对角互补模型 3.如图，在四边形 中，∠ = ∠ = 90 ， ⊥ ，垂足为 ，且 = , = = 5， 则四边形 的面积为____. 4.如图，点 (3 1, 2 + 4)在第一象限的角平分线 上， ⊥ ，点 在 轴正半轴上， 点 在 轴正半轴上. （1）求点 的坐标. （2）当∠ 绕点 旋转时.① + 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不 变，求出这个定值. ②请求出 2 + 2 的最小值. 30/44 重点提分 B 本@第 21 章四边形 类型 3 十字架模型 5.如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 = ，连接 ， ， 平 分∠ 交 于点 ，若∠ = 2 ，则∠ 的度数为( ) A.90 B.90 + C.90 + 2 D.90 2 6.（1）如图（1），在正方形 中， , 相交于点 且 ⊥ ,则 和 的数量关系 为_____. （2）如图（2），在正方形 中， , , 分别是边 , , 上的点， ⊥ ，垂足为 . 求证： = . （3）如图（3），在正方形 中， , , 分别是边 , , 上的点， = 2， = 5， = 1， 将正方形 沿 折叠，点 的对应点恰好与 边上的点 重合，求 的长度. 31/44 重点提分 B 本@第 21 章四边形 类型 4 半角模型 7.如图，正方形 的边长为 4，点 ， 分别在边 ， 上，若∠ = 45 ，则△ 的周长等于___. 8.在正方形 中，点 在边 上，作射线 ，并将射线 绕点 逆时针旋转45 ，交边 于点 ,连接 . 图（1） 图（2） 图（3） （1）如图（1），若 = ， = ，则 + 的值为_____；（用含 , 的代数式 表示） （2）如图（2），若过点 作 ⊥ ，垂足为 ，求证： = ； （3）如图（3），若过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ,求∠ 的度数. 32/44重点提分 B 本@第 21 章四边形 提分专题（四）正方形中常见的几何模型 类型 1 手拉手模型 1.如图，在正方形 外取一点 ，连接 , , .过点 作 的垂线交 于点 ， = = 1， = 3 . 2下列结论：① ⊥ ；②点 到直线 的距离为 ；③ △ + 2 △ = 2+1 .其中正确结论的序号是( ) 2 A.①③ B.①②③ C.②③ D.①② 答案：A 解析：∵ 四边形 是正方形，∴ = ，∠ = ∠ = 90 . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = = 1 ， ∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠ = ∠ ， = . ∵ △ 是等腰直角三角形，∴ ∠ = ∠ = 45 ， = 2 = 2 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 180 45 = 135 ，∴ ∠ = 135 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 135 45 = 90 ，∴ ⊥ ，∴① 正确.在 Rt△ 中, = 2 2 = ( 3)2 ( 2)2 = 1，∴ ② 不正确.∵ △ ≌△ ，∴ △ = △ . ∵ ∠ = ∠ = 90 ， = = 1 ， = 1, = 2，∴ △ + △ = △ + = + = 1 × + 1△ △ △ × = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 = 2+1，∴ ③ 正确. 2 2 2 2 2 故选 A. 2.如图（1），已知正方形 和正方形 有公共顶点 ，连接 ， . 43/67 重点提分 B 本@第 21 章四边形 图（1） 图（2） （1）请判断 与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论. 解： = ， ⊥ .证明：如图（1）， 连接 ,设 与 交于点 . ∵ 四边形 和四边形 为正方形，∴ ∠ = ∠ = 90 ， = ， = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ △ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ ， ∴ 在△ 中，∠ = 180 ∠ ∠ ∠ = 180 ∠ ∠ ∠ = 180 ∠ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ .综上， = ， ⊥ . （2）如图（2），已知 = 4， = 2，当点 在边 ... ...
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