2026年MSC国际数学夏令营竞赛试题 第1题 强叔的房子有2026×2026个1×1的房间，每个房间有4面墙，其中恰有一面墙上有一扇往外走 的单向门。如果一扇单向门在两个相邻房间之间的墙上，那么可以通过这扇门从其中一个房间走到 另一个房间，但是不能反向通过：如果一扇单向门在边界的墙上，那么可以通过这扇门从边界上的 这个房间走到户外，但是不能反向通过。每面墙上最多有一扇单向门，没有从户外进入房间的门。 强叔现在想要翻修房子，他做如下的操作：每一步，他先选择一个房间，它的4面墙中至少有一面 上面没有门，然后他除去这个房问的唯一往外走的单向门，并任意选择一面空白墙，在上面开一扇 新的往外走的单向门（不必担心，墙上如果去掉了门，强叔会把墙修补完整）。 强叔想要通过最多k步操作，以便从任意房间开始，都可以通过走单向门最终到达户外。 求最小的正整数k,使得对任意初始的房间构造，强叔总能达到目的。 第2题 求所有的函数了：R+→R+和非负实系数多项式P,使得对任意正实数玉，，均有 f(x+P(xy))=f(x)+xf(y). 第3题 求所有由正整数构成的数列a1,a2,a3,,满足： 1.对任意正整数m,n,amm=aman: 2.对任意正整数n,(am+1)=r(n+1),其中r(n)表示n的正约数个数。 第4题 在锐角△ABC中，I为内心，直线AI与BC交于点D。设△ABD,△ACI外接圆的另一个交点 为E,M为AE的中点，直线IM与DE交于点P。求证： ∠BAC+∠BPD=180°. 第5题 求所有的合数n(n>1),使得若正整数d满足d1,则 nd"+(n-d)god(d.n). 第6题 半径为1的圆盘覆盖了四个全等的正方形，这些正方形的内部没有公共点。求正方形边长的最大可 能值。 2026年IMSC国际数学夏令营竞赛试题 第1题 强叔的房子有2026×2026个1×1的房间，每个房间有4面墙，其中恰有一面墙上有一扇往外走 的单向门。如果一扇单向门在两个相邻房间之间的墙上，那么可以通过这扇门从其中一个房间走到 另一个房间，但是不能反向通过：如果一扇单向门在边界的墙上，那么可以通过这扇门从边界上的 这个房间走到户外，但是不能反向通过。每面墙上最多有一扇单向门，没有从户外进入房间的门。 强叔现在想要翻修房子，他做如下的操作：每一步，他先选择一个房间，它的4面墙中至少有一面 上面没有门，然后他除去这个房间的唯一往外走的单向门，并任意选择一面空白墙，在上面开一扇 新的往外走的单向门（不必担心，墙上如果去掉了门，强叔会把墙修补完整）。 强叔想要通过最多k步操作，以便从任意房间开始，都可以通过走单向门最终到达户外。 求最小的正整数k,使得对任意初始的房间构造，强叔总能达到目的。 解答 答案是 10132=1026169 下面把房间看成2026×2026方格图的顶点：每扇门就是从一个顶点指向相邻顶点或户外的有向边。每 个顶点出度为1，并且同一面墙上不能有两扇门，所以相邻两房间之间不可能形成长度为2的来回环。 下界 把整个2026×2026棋盘分成 1013×1013 个互不相交的2×2小方块。在每个2×2小方块内，把四个房间的门按顺时针方向开成一个有向4 环： →↓ ↑← 不同小方块之间的墙上都不开门。这样每个2×2小方块内部都有一个独立的有向环。从这个环上的 任一房间出发，都会永远在这4个房间中循环，不能到户外。要让这4个房间最终能到户外，至少要 改掉这个4环中的某一扇门。不同小方块的4环互不相交，而一步操作只能改一个房间的门，所以至 少需要 10132 步。因此 k≥10132 上界的关键引理 引理：设某一时刻还有一些房间不能到户外。总可以通过若干步合法操作，使其中至少4个房间变成 可以到户外，其中t是这若干步操作的步数。 换句话说，操作可以按“每1步至少消灭4个坏房间”的方式摊还计算。 ... ...
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