2024-2025学年河南省洛阳市强基联盟高二（上）联考 数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间四边形中，( ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为( ) A. B. C. D. 3.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五商功中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则( ) A. B. C. D. 4.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则等于( ) A. B. C. 或 D. 5.已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 6.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( ) A. B. C. D. 7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D. 8.在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10.如图，四边形，都是边长为的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则( ) A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 11.在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为( ) A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.设向量，，若，则 _____． 13.在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则_____． 14.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间向量． 求； 判断与以及与的位置关系． 16.本小题分 已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． 用，，表示，并求出； 求． 17.本小题分 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点． 证明：，，，四点共面； 若点在棱，且平面，求的长度． 18.本小题分 如图，四棱柱的底面为矩形，，为中点，平面平面． 证明：平面； 求二面角的平面角的余弦值． 19.本小题分 在三棱台中，平面，，，分别为，的中点． 证明：平面； 已知，为线段上的动点包括端点． 求三棱台的体积； 求与平面所成角的正弦值的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题知，， 所以； 因为， 所以， 所以； 因为， 所以，所以． 16.解：点是线段的中点， ， ， ， ． ． 17.证明：连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面； 解：以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以． 18.解证明：底面是矩形， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， ， ， 又，，平面， 平面； 取的中点，连接， ， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，连接， 又底面为矩形， ， ，，两两互相垂直， 建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示： 设， 则，，，， ， 由得平面，则是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则，取，则，， 则， 设二面角的平面角为，则， 由图可得二面角的平面角为锐角， 二面角的平面角的余弦值为． 19.解：证明：设交于点，连接， 在三棱台中，，，又为的中点 ... ...
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