2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则的实部与虚部之和为( ) A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，且，则( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为( ) A. B. C. D. 5.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( ) A. B. C. D. 6.若曲线的一条切线方程是，则( ) A. B. C. D. 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解例如，故数列的前项和记数列的前项和为，利用上述方法求( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是( ) A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 10.在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是( ) A. 为钝角三角形 B. 的最大内角是最小内角的倍 C. 若为中点，则 D. 若，则 11.设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是( ) A. B. 设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C. 数列中没有最大项 D. 若对任意，成立，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.已知，且的终边在第二象限，则 ． 13.已知函数在处取得极大值，则 _____． 14.已知数列满足，，则 _____；设数列的前项和为，则 _____第二个空结果用指数幂表示 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求的最小正周期； 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集． 16.本小题分 数列满足，． 求数列通项公式． 设，求数列的前项和． 17.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角； 若点在边上，且，求面积的最大值． 18.本小题分 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”在他的专著详解九章算法商功中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式如图，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球第层球数是第层球数与的和，设各层球数构成一个数列 求数列的通项公式； 证明：当时，； 若数列满足，对于，证明：． 19.本小题分 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数 当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由 是否存在使的极值差比系数为若存在，求出的值若不存在，请说明理由 若，求的极值差比系数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解： ，故 ； 因为 ，向左平移 个单位长度，得到函数的图象， 所以 ， 故要使 ， 需满足 ， 解得 ， 故 的解集为 16.解：由，，可得， 则数列是首项和公差为的等差数列， 可得，即为； ， 当为偶数时，数列的前项和； 当为奇数时，； 所以． 17.解：在中，， ，整理得， ，，， ； ， ， ， ． 在中，， 由余弦定理得：，即，当且仅当时等号成立， ． 18.解：根据题意，，，，，， 则有，，，， 当时， ， 又也满足，所以． 证明：设，， 则， 所以在上单调递增，则， 即，即当时，． 证明：由可知当时，， 令，则， 所以， 所以， 令 ... ...
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