湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对一组数据，，，，，，，，，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为( ) A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 2.已知集合，，若中有个元素，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知数列是等差数列，若、、，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数在区间上的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的倍，若该米斗中刚好装了半斗米米均匀分布在米斗中，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( ) A. B. C. D. 6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知数列满足记数列的前项和为，则( ) A. B. C. D. 8.已知，，，是半径为的圆上的四个动点，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，，下列说法正确的有( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10.已知二项式其中的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过，则下列说法正确的是( ) A. 的所有取值组成的集合中有且仅有个元素 B. 若当取最大值时常数项为，则 C. 若当取最小值时函数的图象在点处的切线与轴平行，则 D. 若二项展开式中的所有项的系数和为，则 11.对于满足，且对于恒有则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.设是空间中两个不同的平面，，，是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 ；是异面直线；没有公共点；与没有公共点；． 13.已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 ． 14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作算术研究中首次引入了二次剩余的概念二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用已知对于正整数，，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余从到这个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则 ． 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． 求实数的值； 若对于任意恒成立，求实数的取值范围． 16.本小题分 “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． 若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； 设采用局胜制时乙获胜的概率为，采用局胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围． 17.本小题分 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，． 求证：平面． 若，且三棱锥 的 体积是四棱锥体积的一半． 求点到平面的距离； 求平面与平面所成二面角的正弦值． 18.本小题分 已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点当 ... ...
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