安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题(PDF版，含答案)

2025年滁州市高三第一次教学质量监测 数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B A D B D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题： 12． 3 13．3 14．1 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）由 cosB 2a b 2sin A sin B 可得： cosB ，…………………………2分 2c 2sinC 即 2sinCcosB 2sin(B C) sin B，所以 2sin B cosC sin B 0，…………………………4分 sin 0 cosC 1 2π又因为 B ，所以 ，结合C (0，π)，所以C ；…………………6分 2 3 AD AC （2）由题可知，△ADC与△ACB相似，则 = ，…………………………8分 AC AB 3 t 3设 AD t，则 AB t，有 = ，故 ，所以 3 3 t 3 AB 3 3 .…………………………10分 t 2π 在△ABC 2 2 2中， AB AC BC 2AC BC cos ， 3 π 解得： BC 3，所以 A B ，…………………………12分6 所以△ADC为等腰三角形，所以CD AD 3 .…………………………13分 16．解：（1）由题 c 1，故 a2 b2 1，…………………………2分 3 把 P( 1， ) 1 9 代入椭圆方程中得到 1，解得： a2 4，b2 3， 2 a2 4b2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为 1 .…………………………6分 4 3 （2）由题M (2 1 ，0)，直线 PM的方程为 y x 1，…………………………7分 2 1 设与直线 PM平行的直线 l的方程为 y x t， 2 现考虑椭圆上点到直线 PM距离的最大值， 把 y 1 x t代入椭圆方程中得： 4x22 4tx 4t 2 12 0， 当直线 l与椭圆相切时，距离最大，故有 0， 即 16t 2 16(4t 2 12) 0，所以 t2 4，即 t 2，…………………………10分 1 当 t 2时， y x 2 y 1 与 x 1之间的距离即为椭圆上点到直线 PM距离的最大值， 2 2 2 1 d 6 5 此时 1 5 ，…………………………13分1 4 PQM S 1 | PM | d 1 3 5 6 5 9所以△ 面积最大值为 .…………………………15分 2 2 2 5 2 17. 解：（1）在图（1）中， BC=2， BAC 30 ，所以 AB 4，AC 2 3，……1分 3 E为 AC的中点， EF AB，所以 AE 3，AF .…………2分 2 FG 1 ，所以G为 AB的中点，所以 EG // BC .…………4分 2 在图（2）中， EG 平面 PEG， BC 平面 PEG，所以 BC //平面 PEG .……………6分 平面 PEG 平面 PBC l，所以 BC // l .…………………………7分 （2）在图（2）中，因为 EF PF， EF BF， PF BF F ， 所以 EF 平面 PBF，又 EF 平面 EFBC，所以平面 PFB 平面 EFBC， 因为平面 PFB 平面 EFBC FB， PG FB，所以 PG 平面 EFBC . 如图建立空间直角坐标系，则 P(0，0， 2)， E(1，0，0)，C(1， 3，0)， B( 1， 3，0)， 所以 PC (1， 3， 2)， EC (0， 3，0)， BP (1， 3， 2)，………………10分 设平面 PEC的法向量为 n1 (x，y，z)，则 x 3y 2z 0， 令 x 2，解得 z 2 ， 3y 0， 所以 n1 (2，0， 2) . 设平面 PBC的法向量为 n2 (m，n，l)，则 m 3n 2l 0， 令 n 2，解得 l 3，所以 n2 (0， 2， 3) .……………………13分 m 3n 2l 0， 所以 cos n ，n n1 n 2 6 1 2 5 1 2 ，所以 sin n1，n2 ，| n1 | | n1 | 6 5 5 5 2 5 所以二面角 E PC B的正弦值为 .…………………………15分 5 18. 解：（1 1）方法 1：由 f (x) x3 x2 x可得 a(x2 2ln x) x2 ，……………………1分 3 2 2(x 1)(x 1) 设 g(x) x2 2ln x，x 0， g (x) 2x ， x x 当0 x 1时， g (x) 0；当 x 1时， g (x) 0， 所以 g(x)在 (0，1)上单调递减，在 (1， )上单调递增， 所以 gmin (x) g(1) 1 0，即 x 2 2ln x 0 .…………………………3分 2 所以 a(x2 2ln x) x x2 等价于 a 2 .…………………………4分x 2ln x x2 设H (x) 2 ，x 0，H (x) 2x(1 2ln x) ， x 2ln x (x2 2ln x)2 当 0 x e时，H (x) 0；当 x e时，H (x) 0， 所以H ... ...