上海市杨浦高级中学2024 2025学年高一下学期开学摸底（3月）数学试卷 一、填空题（本大题共12小题） 1．集合，则 . 2．函数的定义域为 . 3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为 ． 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为 . 5．代数式可化为的形式，此时 . 6．已知函数是偶函数，则 ． 7．已知，则 ．（用a和b表示） 8．关于的不等式的解集为，则实数 . 9．已知函数的最小值为，则的取值范围为 . 10．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则 ． 11．以下四个命题中真命题的序号是 . ①若角，满足，，则角，终边关于原点对称； ②在三角形中，若，则三角形是等边三角形； ③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件； ④已知，则. 12．设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 二、单选题（本大题共4小题） 13．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若，且，则幂函数与角的终边（ ） A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有1个交点 D．至少有2个交点 15．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（ ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5小题） 17．已知，，，求： （1）和的值； （2）的值. 18．（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 19．如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. (1)若，，求的值； (2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 20．漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本) (1)写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式； (2)求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值. 21．已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 参考答案 1．【答案】 【详解】因为集合，则. 2．【答案】且 【详解】由题知且，解得且， 所以函数的定义域为且， 3．【答案】 【详解】由题意可知，扇形的面积为. 4．【答案】/ 【详解】, 5．【答案】 【详解】 ， 所以. 6．【答案】5 【解析】利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到. 【详解】解：函数是偶函数， 或 偶函数的图象关于轴对称， 7．【答案】 【详解】因为，则， 所以. 8．【答案】1 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，所以， 所以， 9．【答案】 【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值； 故需满足，得， 函数，，若函数的最小值为， 则且，解得： 综上可知，. 10．【答案】或. 【详解】不等 ... ...
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