2025届高三三月联合测评 数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C D B B C ABC ACD BCD 1.【答案】A 【详解】因为A={-2,-1,0,1},B={x|x<-1,或x>2},所以A∩B={-2},选A. 2.【答案】B 【详解】(方法一)将1+i代入x2+px+q=0,并整理得(p+q)+(p+2)i=0,所以p+q=0. (方法二)因为-p=1+i+1-i=2,q=(1+i)(1-i)=2,所以p+q=0.选B. 3.【答案】D 【详解】p: n∈N,n2>2n+5的否定是 n∈N,n2≤2n+5,选D. 4.【答案】C 【详解】因为|2e1+e2|=|e 7 1-3e2|=7,(2e1+e2)·(e1-3e2)=- ,2 所以cos<2e1+e2,e 1 1-3e2>=- ,所以2 2e1+e2 与e1-3e2的夹角为120°,选C. 5.【答案】D 【详解】由f(x)=f(4-x)知,函数f(x)的图象关于直线x=2对称.当x≤2时,f(x)单调递增,所以 f(-3)
0 . 当lna<0,即00,(1)2-4≤0,解得a≥e.所以a不可以取的一个值是2,选lna B. 8.【答案】C 【详解】(方法一)因为AB=4,CD=2,所以球心O 到AB 中点M 的距离为1,到CD 中点N 的距离为 2,从而AB 中点M 在以O 为球心,以1为半径的球面上运动,CD 中点N 在以O 为球心2为半径的球 面上运动. 数学试卷参考答案与详解 第 1页(共6页) 当M,O,N 三点共线且O 在线段MN 上时,MN 取最大值3,S 1△ABN=2×AB×MN=6. 此时,若CD⊥平面ABN,则V=13×6×2=4 ;若CD 不垂直于平面ABN,则C,D 到平面ABN 的距 离和小于2,从而四面体体积小于4; 当M,O,N 三点不共线时,由于N 在以O 为球心2为半径的球面上运动,所以N 到直线AB 的距离 小于3,从而S△ABN<6,C,D 到平面ABN 的距离和小于等于2,从而V<4. 所以四面体体积的最大值为4.选C. (方法二)设球心为O,△ABC 的外心为O1,圆O1半径为r,AB 的中点为M. 2 设∠DCO=α,∠OCO1= 1 2 r 5-r β,则sinα= ,cosα= ,cosβ= ,sin= .5 5 5 β 5 2 所以sin(α+ )=2r+ 5-rβ ,于是M 到5 CD 的距离d=|CM|sin(α+β). 设AC 与BD 的距离为d(r),则d(r)=1(5r+ r 2-4)(2r+ 5-r2). d(2)=15×2× (4+1)=2, d(5)=1( )5 5+1×25≈2.9. 设r= 5-cos2θ= 4+sin2θ,下证d≤3. 即证5d=(cosθ+2 5-cos2θ)(sinθ+ 5-cos2θ)≤15; 从而sinθcosθ+2(5-cos2θ)+(2sinθ+cosθ)5-cos2θ≤15; 于是cosθ(sinθ-2cosθ) 2 +(2sinθ+cosθ)5-cosθ≤5. 5 5 由柯西不等式, 2 2 2 上式左 [(cosθ) (5-cos≤ + θ)][(sinθ-2cosθ)2+(2sinθ+cosθ)2]=5, 5 5 从而d≤3,故△CDM 面积最大值为3. 从而四面体ABCD 体积最大值为1×3×4=4.选3 C. 9.【答案】ABC 因为a=2,c=1,所以e= 2,2 A 正确; (2 ) (2 ) 设AC:x=ty-1,与椭圆方程联立,求得|AC|= 22t+1 t2 同理 +2 . |BD|= 22t+1 1+2t2 . 所以|AC|的最小值为2,最大值为22,B正确; 数学试卷参考答案与详解 第 2页(共6页) 1 + 1 32为定值, 正确;|AC| |BD|= 4 C 2 2 变换后,曲线为x +y =1,不是圆,D错误.选2 4 ABC. 10.【答案】ACD 【详解】画出正弦函数y=sinx及余弦函数y=cosx的图象,可以判断.选ACD. 11.【答案】BCD 【详解】a2 2 2 1-5 1+5 1+5n+1-an=-an+an+1=-(an- 2 )(an- 2 ),下证an> 2 . 当n=1,a1=2> 1+5,假设当n=k,k≥1时,a >1+52 k 2 . ( )2 当n=k+1时,a 1+5 1+5 1+5k+1= ak+1> 2 +1= 4 = 2 . 所以a 1+5 2 2 1-5 1+5n> ,从而2 an+1-an=- (an- )(2 an- ) 2 <0. 所以an>an+1,数列 an 是递减数列,有A错误,B正确,C正确; 当n=1时,a 1 1+5 1 11=2≥1+20=2 ,当n≥2时,an> 2 >1+2≥1+2n-1 ,D正确.选BCD. 12.【答案】72 【详解】因为12×0.75=9,所以上四分位数为89+552 =7 ... ... 
