五莲一中高二年级下学期阶段检测 数学试题测试题 一 单选题：（40分） 1. 【答案】A 2 【答案】C 3. 【答案】A 4. 【答案】A 5. 【答案】C 6. 【答案】B 7. 【答案】D 8. 【答案】A 二 多选题：（18分） 9. 【答案】AD 10. 【答案】ABC 11. 【答案】ACD 三 填空题：（15分） 12.【答案】##0.25 13. 【答案】 14.【答案】 四 解答题：（77分） 15. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即:. 16. 【答案】（1） （2）最大值为18，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定单调性即可求解. 【小问1详解】 解：，所以 所以切线的斜率 又因为 所以曲线在点处的切线方程为：， 即 【小问2详解】 因为 所以或 0 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 因为 所以 所以函数在区间上的最大值为18，最小值为 17. 【解析】 【分析】（1）求导并分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）由条件可得恒成立，设，求导并分类讨论，确定的单调性及最大值，可得，令，，利用的单调性确定的范围，从而可得范围. 【小问1详解】 的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递增； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为. 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立， 则恒成立， 设， ， ∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 所以不合题意； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 则的最大值为， 则， 令，， ，则在上单调递增， 又， ∴由，得， ∴且， ∴. 18. 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增， ... ...
