2025年6月浙江省杭州市高二下学期期末教学质量检测数学试题(图片版,含答案)

2024学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C A B A A 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.AC 10.AC 11.ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 6 13. 2 = 8 14. (3,1) 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分 13分） 1 √3 （1） ( ) = 2 + 2 = (2 + )2 2 3 , 令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ( ∈ )， 2 3 2 5 解得 + ≤ ≤ + ( ∈ ), 12 12 5 所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ] ( ∈ )12 12 3 （2）因为 0是函数 ( ) = ( ) 5的零点， 3 3 所以 ( 0) = ( 0) = 0，即 (2 0 + ) =5 3 5， 3 所以 ( 2 0) = [ (2 + )] = (2 + ) =6 2 0 3 0 3 5. 16.（1） ′( ) = ( + 2) , ′(0) = 2, (0) = 1， 切线方程为： = 2 + 1. （2）由（1）得 ( )在( ∞, 2)单调递减，在( 2,+∞)单调递增， 1 当 = 2时， ( )有极小值 ( 2) = . 2 1 （3）当 < 2时，无解； 1 当 = 2或 ≥ 0时，有一解； 1 当 < < 02 时，有两解. 17.（1）由题意得： = 1, = √3， 则有 2 + 2 = 2，故 ⊥ ， 又 ⊥ 1 ，所以 ⊥ 平面 1 . 1 √3 1 （2） 1 = = × × √3 =1 3 4 4 （3）取 中点 ， 中点 ， 以 为坐标原点， ， , 1分别为 轴, 轴， 轴建立空间直角坐标系， √3 1 1 √3 1 √3 √3 则 1 (0,0, ) , ( , 0,0) , ( , √3, 0) , (1, , 0) , ( , , )2 2 2 2 4 2 4 , 3 √3 1 √3 = ( , 0, ) , 1 = ( , 0, ) , = (1, √3, 0)4 4 2 2 ， 可得平面 1 的法向量为 = (√3, 1, 1)， 设直线 与平面 1 所成角为 ， 故 = | , 2√5 | = 5 ， 2√5 所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 5 . 18.（1）由题意得： = √3，即 = √3 ，又双曲线 经过点(√2，√3)， 2 3 2 3 1 得1 = 2 2 = = ，解得 = 1， 2 3 2 2 2 所以双曲线 的方程为 2 = 1. 3 0 3 （2） （ⅰ）由题意得：过点 的切线 方程为 0 = 1，即 (0, )， 3 0 又 1( 2,0)、 2(2,0)，则过 1, 2, 三点的圆的圆心为 (0, 1)， 2 2 3 2 2 3 有| | = | |，即( 2) + 1 = ( ) = 0 1 1 ， 1 3 2 , 0 0 2 2 2 2 = 4 + ( 0 3 4 9 所以 ) = 2 + 0 + 3 2 0 9 4 2 ， 0 2 2 2 3 2 0 4 2 9 又| | = 0 0 + ( 0 + ) = 2 + +3 2 9 4 2， 0 0 即| |2 = 2，所以 1, 2, , 四点共圆. （ⅱ）方法一：切线 的垂线方程为3 0 + 0 = 4 0 0， 1 令切线 交 轴于点 ( , 0) ，∠ 1 2的角平分线交切线 于点 ， 0 | | | 1| 2 +1 由角平分线定理得： = = 0 = | | | | 1 01 +2 ， 0 所以 = 0 ， 代入坐标得 (1, 0 ) 1+ ， 0 故∠ = 0 ( + 2) 1 2的角平分线方程为 3(1+ ) ， 0 设点 ( , )， = 0 ( + 2) 0 = ( > 0) ( ) { 2 3 1+ 0 联立{ 3 3 0 + 0 = 4 ，可得 = ， 0 0 0 2 2 3 2 所以点 的轨迹方程为 = 1( > 0). 4 4 方法二：由双曲线的光学性质得：切线 的垂线即为∠ 1 2的外角平分线， 所以点 为 1 2的旁心， 设圆 与 1 延长线、 2、 1 2延长线的切点分别为 , , ，点 ( , )， 则| 1| + | 2| = 1 + 2 0 + 2 0 1 = 4 0 = | 1| | | + | F| + | 2| = | 1 | + | 2 | = 4 + 2| 2 | = 4 + 2( 2) = 2 ， 即 = 2 0， 易知切线 的垂线方程为3 0 + 0 = 4 0 0， 0 = ( > 0) 2 2 2 3 2 代入得 = 0 { ，故 3 3 0 = ，所以点 的轨迹方程为 = 4 4 2 1( > 0). 19.（1）（ⅰ）假设存在 > 0,使得 = 2 1 < ， +1 则有 < ， 2 因为 ∈ ，所以数列{ }不具有性质 ； 1 因为 = ( ) < 12 ，且{ }为单调递减数列， 所以数列{ }具有性质 . （ ... ...