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课件网) 5．3 同角三角函数的基本关系式第5章 三角函数第页，共40页1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.等价变形为sin2α＝_____，cos2α＝_____. 2．商数关系：_____.等价变形为sin α＝_____，cos α＝_____. 1－cos2α 1－sin2α cosα·tanα 【例1】 (2024年甘肃省分类考试)在△ABC中，已知cos A ＝ ，则tan A＝( ) A． B． C． D． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 知道余弦(正弦)函数值，可以利用平方关系求出正弦(余弦)函数值，然后利用商数关系求出正切函数值．由sin2A＋cos2A＝1得sinα＝ .因为A是三角形内角，故sinA>0，所以sin A＝ ，tan A＝ . 【变式训练1】 在△ABC中，若cos A＝ ，则sin A＝_____． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【例2】 已知cos α＝ ，求sin α和tan α的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 当已知条件没有说明角的终边所在的象限时，要先结合三角函数值的正负确定角的终边所在的象限，一般有两种情形，需要进行分类讨论． 【解】 ∵cos α＝ >0，∴α是第一或第四象限角． 若α是第一象限角，则sin α>0，tan α>0， ∴sin α＝ ，tanα＝ . 若α是第四象限角，则sin α<0，tan α<0， ∴sin α＝ ，tanα＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【变式训练2】 已知sin α＝ ，求cos α，tan α的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：∵sin α＝ <0，∴α是第三或第四象限角． 若α是第三象限角，则cos α<0，tan α>0， ∴cos α＝ ，tanα＝ ； 若α是第四象限角，则cos α>0，tan α<0， ∴cos α＝ ，tan α＝ . 【例3】 已知tan α＝ ，且α是第三象限角，求sin α， cos α的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 先利用商数关系化切为弦，然后与平方关系联立求出余弦值(或正弦值)的平方，再依据角所在象限来确定余弦值(或正弦值)的符号． 【解】 由tan α＝ ，得sin α＝ cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1， 解得cos2α＝ . 因为α是第三象限角，所以cosα<0，则cos α＝ ， 所以sin α＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【变式训练3】 已知tan α＝ ，cos α>0，求sin α的值． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：由tan α＝ ， 解得sin2α＝ . ∵tanα＝ <0，cos α>0，∴sin α<0. ∴sin α＝ . 【例4】 (2022年甘肃省分类考试)已知tan α＝1， 则 ＝_____． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 已知tan α求三角函数式的值的问题有两种基本方法：一种是将所求三角函数式用已知量tan α来表示(即“化弦为切”)；另一种是由tan α＝ 得到sin α＝tan α·cos α，代入所求三角函数式进行化简求值(即“化切为弦”). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (方法一)由tan α＝1得 ＝1，即sin α＝cos α， 故 . (方法二)由tan α＝1知cos α≠0， 故 . 【变式训练4】 已知tan α＝ ，则 ＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【例5】 化简：(1) ； 【点拨】 将1＝sin2130°＋cos2130°代入并开方，开方时注意符号； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【解】 (1) (2)sinα·cos α . 【点拨】 先化切为弦，再利用分配律展开即可． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (2)sin α·cos α ＝sin α·cos α ＝sin2α＋cos2α＝1. 【变式训练5】 已知sin α－cos α＝ ，则sin α ... ...
