1.3.1 空间直角坐标系 学案设计(一) 学习目标 1.了解空间直角坐标系. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标. 自主预习 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴: ,它们都叫做 .这时我们就建立了一个 . 2.相关概念: 叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为 平面、 平面、 平面,它们把空间分成八个部分. 注意点: (1)基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系. 二、求空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中(如下图),i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组 ,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的 ,y叫做点A的 ,z叫做点A的 . 问题:空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 课堂探究 [导入新课] 问题1:请同学们回忆上节课的内容,什么是空间向量基本定理 它的用途是什么 你能举出一些具体的例子吗 问题2:请同学们回忆平面向量与平面直角坐标系之间的联系和对应关系,能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底,建立空间直角坐标系,进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢 [讲授新课] 探究一:类比平面直角坐标系,你能猜想如何构建空间直角坐标系吗 以小组为单位进行讨论. 问题3:平面直角坐标系包含哪些要素 类比到空间直角坐标系应该有哪些要素 它们需要满足什么条件 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 原点 坐标原点O 坐标轴 相互垂直的两条坐标轴:x轴和y轴 单位长度 单位长度 问题4:利用单位正交基底概念,我们可以如下这样理解平面直角坐标系.类比到空间,你能否给出空间直角坐标系的定义呢 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j} 以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴 问题5:请回忆平面直角坐标系是怎么画的,空间坐标系又如何画呢 回忆学习立体几何时用到的斜二测画法. 探究二:在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢 问题6:空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同 在空间直角坐标系中如何定义向量的坐标呢 那么对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢 平面直角坐标系内 空间直角坐标系内 取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,由平面向量基本定理,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做a的坐标,记作a=(x,y) 探究三:在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任意一点A,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z)吗 【学以致用】 例题 如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=2,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出D',C,A',B'四点的坐标; (2)写出向量的坐标. 核心素养专练 1.在空间直角坐标系Oxyz中,点(1,-2,4)关于y轴对称的点为( ) A.(-1,-2,-4) B.(-1,-2,4) C.(1,2,-4) D.(1,2,4) 2.如图,在长方体OABC ... ...
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