第2课时 函数极值的综合问题 【课中探究】 探究点一 例1 解:由f(x)=+x+1,得f'(x)=1-=.①当a≤0时,f'(x)>0恒成立, f(x)在R上为增函数, f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a, 即x=ln a.易知当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,当 x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=ln a处取得极小值,极小值为f(ln a)=ln a+2,无极大值.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)有极小值ln a+2,无极大值. 变式 解:函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax-(2a+1)=. ①当a>时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为,所以当x=时,f(x)取得极大值f=-ln(2a)-, 当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=-a-1; ②当0
时,f(x)的极大值为-ln(2a)-,极小值为-a-1;当00,此时f=ln=1,所以a=.检验:当a=时,f'(x)=-,当00,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=e时,f(x)取得极大值,极大值为f(e)=ln e-·e+1=1,符合题意.故a=. (2)f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k),当k≤0时,ex-2k>0恒成立,此时f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,f(x)在x=0处取得极小值,不符合题意.当k>0时,令f'(x)=x(ex-2k)=0,得x=0或x=ln(2k),若当x=0时,f(x)有极大值,则ln(2k)>0,得k>.所以k的取值范围为. 变式 2 9 [解析] 因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知,即解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0且f'(x)不恒为0,函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,此时函数f(x)无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-30)有解,可得a=-=-+1≤1.当a=1时,f'(x)=x-2+=≥0恒成立,且f'(x)不恒为0,不符合题意.因此实数a的取值范围是(-∞,1). 变式1 (-1,) [解析] 由f(x)=ex(sin x-a),得 f'(x)=ex(sin x+cos x-a)=ex. 因为函数f(x)=ex(sin x-a)在区间(0,π)上存在极值, 所以f'(x)=ex在(0,π)上有变号零点. 因为00,即sin-a=0在(0,π)上有解, 即a=sin在(0,π)上有解. 因为00,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)存在唯一的极大值点x=1.由题意可得解得a-1时,f'(x)>0;当x1,解得a>2.所以“a>1”是“函数f(x)=(x-a)·ex在(1,+∞)上有极值”的必要不充分条件.故选B. 3.D [解析] 由题可得,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=x-2+=.若函数f(x)有两个不同的 ... ... 