6.3 函数的最值 第1课时 导数与函数的最值 【课前预习】 知识点 1.一条连续不断的曲线 2.最值 诊断分析 1.(1)√ (2)× (3)× 2.解:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部(除区间端点)取得,函数最值可能在区间端点取得. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)D (2)ABD [解析] (1)A中,极大值不一定是最大值,故A错误;B中,极小值不一定是最小值,故B错误;C中,极大值不在区间端点取得,故C错误;D中,函数在闭区间上的图象是一条连续曲线,则必存在最大值和最小值,故D正确.故选D. (2)由题图知,当x∈[a,c]时,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,∴f(x)在[a,c]上单调递增,故f(a)0,∴f(x)在[c,e]上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,故C中结论正确,B中结论错误;f(c)>f(d)>f(e),∴D中结论错误.故选ABD. 变式 (1)B (2)D [解析] (1)函数的最大值有可能是函数的极大值,故A错误;函数的极大值可以小于该函数的极小值,故B正确;函数在某一个闭区间上的极小值不一定是该函数在这个闭区间上的最小值,故C错误;函数在开区间内有可能存在最大值和最小值,故D错误.故选B. (2)由题图可得,当x>-1时,y=(x+1)f'(x)>0 f'(x)>0,当x=-1时,y=(x+1)f'(x)=(-1+1)f'(-1)=0,f'(-1)的符号无法确定,当-30 f'(x)<0,当x=-3时,y=(x+1)f'(x)=(-3+1)f'(-3)=0 f'(-3)=0,当x<-3时,y=(x+1)f'(x)<0 f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.f(-1)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故A错误;f(-3)是函数f(x)的极大值,故B错误;f(x)在(-3,1)上不单调,故C错误;由题图知(0+1)f'(0)>0 f'(0)>0,所以f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于0,故D正确.故选D. 探究点二 例2 解:(1)由题可得f(x)的定义域为R,f'(x)=2x2-2x-4=2(x-2)(x+1). 令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=2. 当x≤-1时,f'(x)≥0且f'(x)不恒为0,当-10,所以f>f(0), 显然π+1>+,即f(2π)>f, 所以函数f(x)的最大值为π+1,最小值为1. 探究点三 例3 证明:令g(x)=f(x)-(3x-8)=x3-x2-3x+9,则g'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),当x∈(3,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,又g(x)的图象为一条连续曲线,所以当x∈(3,+∞)时,g(x)>g(3)=0,即f(x)>3x-8,得证. 变式1 证明:令f(x)=ex-x-1(x≥0),则f'(x)=ex-1≥0且f'(x)不恒为0,∴f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥f(0),又f(0)=0, ∴f(x)≥0,即ex≥x+1(x≥0). 令g(x)=x-sin x(x≥0),则g'(x)=1-cos x≥0且g'(x)不恒为0,∴g(x)在[0,+∞)上是增函数,∴g(x)≥g(0),又g(0)=0,∴x-sin x≥0(x≥0),∴x+1≥sin x+1(x≥0). 综上,ex≥x+1≥sin x+1(x≥0). 变式2 解:(1)f(x)=ex-1-a(x+1)的定义域为R,f'(x)=ex-1-a. 当a≤0时,f'(x)>0 ... ...
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