§7 导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 【课前预习】 知识点 1.功率 2.降雨强度 3.边际成本 诊断分析 解:电流是电荷量关于时间的导数;水的流速是水流量关于时间的导数;加速度是速度关于时间的导数等. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率为==(m3/min),它表示时间从1 min到8 min这段时间内,平均每分钟水流量为 m3. (2)f'(x)=()'=,则f'(27)=×2=(m3/min), 其实际意义是当x=27 min时,水流量y关于时间x的瞬时变化率为 m3/min. 变式 解:(1)当t从1 s变到3 s时,功W从W(1)=1-2+1=0(J)变到W(3)=33-2×3+1=22(J), 则功W关于时间t的平均变化率为==11(J/s), 它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功11 J. (2)因为W'(t)=3t2-2, 所以W'(1)=3-2=1(J/s),W'(2)=3×22-2=10(J/s), W'(1),W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时,这个人每秒做的功为1 J和10 J. 探究点二 例2 解:(1)当x从200变到220时,总成本c从c(200)=540元变到c(220)=626元. 此时总成本c关于产量x的平均变化率为==4.3(元/件),它表示产量从200件增加到220件的过程中,每增加1件产品,成本平均增加4.3元. (2)c'(x)=+,于是c'(200)=+4=4.1(元/件), 它表示当产量为200件时,每多生产1件产品,成本需增加4.1元. 变式 解:根据题意知,总利润(单位:元)关于日产量x(单位:kg)的函数为L(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2, 所以边际利润函数为L'(x)=5-0.02x. L'(200)=5-0.02×200=1(元/kg), L'(250)=5-0.02×250=0(元/kg), L'(300)=5-0.02×300=-1(元/kg). 它们的实际意义是:当日产量为200 kg时,每增加1 kg的产量,总利润可增加1元;当日产量为250 kg时,每增加1 kg的产量,总利润无增加;当日产量为300 kg时,每增加1 kg的产量,总利润会减少1元.由此可得,当企业某一产品的日生产量超过了边际利润函数的零点时,会使企业“无利可图”. 探究点三 例3 解:由题意可知f'(3)=-3的实际意义是第3 min时,杯子中的热茶温度下降的速度为3 ℃/min. 变式 解:由s(t)=-t3-2t+,得s'(t)=-3t2-2,则s'(1)=-3×12-2=-5(m/s),它表示当t=1 s时,汽车刹车后的瞬时速度为-5 m/s.§7 导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 1.B [解析] 因为y(t)=ln(2t+1),所以y'(t)=,所以该质点在t=2 s时的瞬时速度为y'(2)==(cm/s).故选B. 2.D [解析] ∵S'=2πr,∴当r=3时,S'=2π×3=6π. 3.C [解析] 由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为对应时刻的瞬时速度. 4.A [解析] 由题意及容器的形状可知,随着时间的增加在相同的变化时间内,水面高度的增加量越来越小,所以f(t)在区间[t0-Δt,t0]上的平均变化率大于在区间[t0,t0+Δt]上的平均变化率,即k1>k2.故选A. 5.C [解析] s'=6t2-a,由题意知6×12-a=8,解得a=-2. 6.D [解析] 因为q'=4t+3,所以当t=5 s时,通过导体的电流为4×5+3=23(C/s). 7.ACD [解析] 由题意知θ=f(t)=20+60e-kt.对于A选项,因为k为大于0的常数,所以f'(t)=-60ke-kt<0,故A选项正确;对于B选项,若f(3)=65 ℃,则65=20+60e-3k,所以=e-3k,则f(6)=20+60e-6k=20+60(e-3k)2=20+60×=53.75(℃),故B选项错误;对于C选项,f'(3)表示t=3时的函数值的变化情况,因为f'(3)=-4<0,所以其实际意义是在t=3时,红茶的温度以每分钟4 ℃的速度下降,故C选项正确;对于D选项,令g(t)=f'(t)=-60ke-kt,则g'(t)=60k2e-kt>0,故f'(t)在定义域内为增函数,又f'(t)<0,所以随着时间的增加,f(t)的下降速度在减小,由于80-60=60-40=20,故红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间少,故D选项正确.故选ACD. 8.ABC [解析] s'=t3-5t2+4t,令s'=0,得t1=0,t2=1,t3=4.故选ABC. 9.8 [解析] 由s=t3-2t2对t求导得s'=4t2-4t,则当t=2时,速度的大小为4×22-4×2=8. 10.26 [解析] 由题知,汽车启动阶段的速度v关于 ... ...
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