7.2 实际问题中的最值问题 【课前预习】 知识点一 最优化 知识点二 (1)函数模型 (2)f'(x)=0 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)当a=80时,b=80,纸盒的底面是正方形,其边长为(80-2x)厘米,周长为(320-8x)厘米. 所以纸盒的侧面面积S(x)=(320-8x)x=-8x2+320x(平方厘米),其中x∈(0,40). S'(x)=-16x+320, 令S'(x)=0,得x=20, 所以当00,可知S(x)在区间(0,20)上单调递增, 当200,且ab=6400,则a≥80≥b>0. 因为(a-2x)(b-2x)=ab-2(a+b)x+4x2≤ab-4x+4x2=4(x2-80x+1600), 当且仅当a=b=80时取等号, 所以V(x)≤4(x3-80x2+1600x),x∈,且 (0,40). 记f(x)=4(x3-80x2+1600x),x∈(0,40), 则f'(x)=4(3x-40)(x-40), 令f'(x)=0,得x=,列表如下: x f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知,f(x)的极大值是f=,也是最大值. 所以V(x)≤f(x)≤,当且仅当a=b=80,且x=时,等号同时成立,故要使纸盒的体积最大,则a=b=80,x=,纸盒的最大体积为立方厘米. 变式 解:(1)连接OB,∵AB=x,∴OA=.设圆柱的底面半径为r,则=2πr,即4π2r2=900-x2, ∴V=πr2x=π··x=,其中00,当x∈(6,8]时,g'(x)<0, 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减, 所以当x=6时,利润取得最大值,最大值为g(6)=11.5(万元).所以每年种植6万千克莲藕时,利润最大,最大利润为11.5万元. 变式 解:(1)因为每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件, 所以=500,解得k=500·e40. (2)由题意知,L(x)=(x-30-5)×(35≤x≤41), 即L(x)=(35≤x≤41). (3)L'(x)==, 令L'(x)<0,得360,得35≤x<36, 所以L(x)在区间[35,36]上单调递增,在区间[36,41]上单调递减, 则当x=36时,L(x)取得最大值,最大值为L(36)=500e4, 所以当每件产品的售价为36元时,分公司一年的利润L(x)最大,L(x)的最大值为500e4. 探究点三 例3 D [解析] 设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得l=15×+12×2=240+72(x>0),可得l'=72.令l'=0,解得x=4或x=-4(舍去),则当04时,l'>0,故当x=4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.故选D. 例4 C [解析] 设水箱的底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,所以S'=2x-,令S'=0,得x=8,当x∈(0,8)时,S'<0,当x∈(8,+∞)时,S'>0,则当x=8时S取得最小值.因此当h==4,即水箱的高为4 m时,所用材料最省.故选C. 变式 (1)A (2)A [解析] (1)设泳池维修的总费用为y元,则由题意得y=1250×150+kx+(0x>25时,y'>0.故当x=25时,y有最小值.因此,当较短池壁的长度为25 m时,泳池的总维修费用最低.故选A. (2)w'(v)==,当18≤v≤30时,w'(v)>0,所以w(v)在[18,30]上单调递增, 所以当v=18时,w(v)取得最小值,此时燃料费最低.故选A.7.2 实际问题中的最值问题 1.C [解析] 由题意知y'=-x2+81,所以当x>9时,y'<0;当00.所以函数y=-x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以当x=9时,函数取得极大值,也是最大值,所以当年产量为9万件时,该生产厂家获得 ... ...
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