(课件网) 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理． 2.会运用等腰三角形的性质解决几何问题. 3.能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 如图，一个等腰三角形被墨水涂掉了一部分，只留下底边BC和底角∠C，你能还原原来的三角形吗？ A B C 你知道这样做的依据是什么吗？ 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等. 试着证明你的猜想吧！ 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，求证：AB = AC. A B C D 证法 1：作△ABC 的顶角平分线. 证明：作△ABC的角平分线 AD. ∠1 =∠2， ∠B =∠C， AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (AAS)， ∴AB = AC. 在△ABD和△ACD中， 1 2 证法 2：作△ABC底边的高. 在△ABD和△ACD中， ∠B =∠C， ∠ADB =∠ADC， AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (AAS) ， ∴AB = AC. A B C D 证明：作 BC 边上的高 AD. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，求证：AB = AC. 证法 3：作△ABC底边上的中线. A B C D E F 在△DBE和△DCF中， ∠DEB =∠DFC， ∠B =∠C， DB = DC， ∴△DBE≌△DCF (AAS). ∴BE=CF，DE=DF. 证明：作底边BC的中线 AD，过点D作 DE⊥AB，DF⊥AC. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，求证：AB = AC. 在Rt△DEA 和Rt△DFA 中， AD=AD， DE=DF， ∴△DEA≌△DFA (HL)， ∴AE=AF， ∴AE+BE=AF+CF， 即AB=AC. A B C D E F 归纳总结 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). 符号语言: 如图，在△ABC 中， ∵∠B =∠C， ∴AB = AC. A C B 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，AD是△ABC 的外角∠CAE的平分线，AD // BC. 求证：AB = AC. 分析：要证明AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系. A B C D E 1 2 证明：∵AD//BC， ∴∠1 =∠B，∠2 =∠C. 又AD平分∠CAE， ∴∠1 =∠2， ∴∠B =∠C， ∴AB = AC. A B C D E 1 2 变式 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC. 求证：△BDE是等腰三角形. 证明：如图， ∵DE∥AC，∴∠1＝∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 1 2 3 例2 尺规作图：如图，已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h，求作这个等腰三角形. 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. a h 作法：如图. (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线MN， 与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C，使DC=h. (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. A B C D M N a h 1.在△ABC中，已知，∠B=∠C，则( ) A. AB=BC B. AB=AC C. BC=AC D. ∠A=60° B D 2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是( ) A B C D D 4.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作BC的垂线交AB于点E，交CA延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形. 证明：如图， ∵ED⊥BC， ∴∠EDC＝∠EDB＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°. ∵ ... ...
