平面向量的范围、最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量的范围、最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知平面向量、的夹角为，且满足，则以下四个向量中模长最大的是（ ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．3 D．4 4．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知平面向量、满足，，并且当时，取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 6．已知单位向量的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 7．已知向量满足，则的最小值是（ ） A．0 B．2 C． D．5 8．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知向量，则的最大值为（ ） A．6 B．4 C． D． 10．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）． A． B．0 C． D． 二、多选题 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题 12．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 13．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． 14．已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 15．已知平面向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围是： ． 16．在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 . 17．在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 18．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 . 19．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3 ②面积的最大值为 ③的取值范围是 ④若为中点，则不可能等于 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A B D A C C 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 2．D 【分析】考查函数，其中，利用平面向量数量积的运算性质可得出的表达式，结合二次函数的单调性可得出合适的选项. 【详解】考查函数，其中， 由平面向量数量积的定义可得， 所以 ， 由二次函数的基本性质可知，函数在上单调递减， 又因为，故四个选项中，D选项中向量的模长最大. 故选：D. 3．C 【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，，， 因为，，， 所以, 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 4．D 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 5．A 【分析】结合数量积的定义，利用数量积的运算律求得，然后利用二次函数性质求出取最小值时，即可求解. 【详解】平面向量、满足 ... ...