几何意义法求解模的最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 几何意义法求解模的最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数z满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．若复数z满足，则的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 4．已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 6．设复数满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 8．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 9．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知向量满足，则（ ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．的最大值为 D．的最小值为4 11．设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D．若，则的最小值是 三、填空题 12．已知向量，满足，且，则的最大值是 . 13．已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 . 14．已知非零向量，满足，且与的夹角为120°，则的取值范围为 ． 15．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 . 16．已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 17．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 18．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且； (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 19．在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D C D B A B BCD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】设复数在复平面内对应的点分别为，根据复数的几何意义可知点在标准单位圆上，，结合圆的性质分析求解. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，则点在标准单位圆上，， 则，其中为坐标原点， 所以的最大值是3. 故选：C． 2．D 【分析】根据复数加减的几何意义可确定最大值. 【详解】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 3．D 【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围. 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 4．D 【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值. 【详解】，且，的夹角为， 在平面直角坐标系中，令，设， 则，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以的最大值为. 故选：D 5．C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C 6．D 【分析】设复数，可得，表示出模长结合导函数得出函数的最值即可求值. 【详解】由条件不妨设．于是，． 则． 故． 设，， 当单调递增；当单调递减； 当时，取最大值27．从而最大值为 ... ...