中档题保分练2 （时间：50分钟 满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设O为坐标原点，圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝4与x轴切于点A，直线x－y＋2＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则·＝（ ） A. B. C. D. 解析：D 由题意A（1，0），圆心M（1，2），M（1，2）到直线x－y＋2＝0距离为，所以BC＝2＝，直线x－y＋2＝0的斜率为，则其倾斜角为，则与的夹角为，所以·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝1××＝.故选D. 2.已知函数f（x）＝x3＋x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A.［－，） B.［－，） C.（－，］ D.（－，］ 解析：B f（x）＝x3＋x2－2x＋1，f'（x）＝x2＋x－2＝（x＋2）（x－1），当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＜－2或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，在x＝－2处取得极大值.令f（x）＝f（1），解得x＝1或x＝－，又∵函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，∴－≤2a－2＜1＜2a＋3，解得－≤a＜，即a的取值范围是［－，）. 3.在棱长为2a（a＞0）的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上，且·＝0，则点P的轨迹长度为（ ） A.12a B.12πa C.24a D.24πa 解析：B 因为·＝0，故P点轨迹为以MN为直径的球，如图，易知MN中点即为正方体中心O，球心在每个面上的射影为面的中心，设O在底面ABCD上的射影为O1，又正方体的棱长为2a，所以MN＝2a，易知OO1＝a，O1M＝a，又动点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为6×2πa＝12πa，故选B. 4. x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，则f（2 024）＝（ ） A.2 B.1 C.0 D.－1 解析：B 由题意知 x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，令x＝－1，则f（－1）＋f（2）＝1－f（－1）f（2），∴f（2）＝1.显然f（x）＝－1时，－1＋f（x＋3）＝1＋f（x＋3）不成立，故f（x）≠－1，故f（x＋3）＝，则f（x＋6）＝＝f（x），即6为函数f（x）的周期，则f（2 024）＝f（337×6＋2）＝f（2）＝1，故选B. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 5.已知复数z，下列说法正确的是（ ） A.若z－＝0，则z为实数 B.若z2＋＝0，则z＝＝0 C.若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2 D.若｜z－i｜＝｜z｜＋1，则z为纯虚数 解析：AC 设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，若z－＝0，即（a＋bi）－（a－bi）＝2bi＝0，即b＝0，则z为实数，故A正确；若z2＋＝0，即（a＋bi）2＋（a－bi）2＝0，化简可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，当a＝b时，z＝a＋ai，＝a－ai，此时不一定满足z＝＝0，当a＝－b时，z＝a－ai，＝a＋ai，此时不一定满足z＝＝0，故B错误；若｜z－i｜＝1，即｜z－i｜＝1＝｜a＋（b－1）i｜＝＝1，所以a2＋（b－1）2＝1，即z表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点，且｜z｜表示圆上的点到原点的距离，所以｜z｜的最大值为2，故C正确；若｜z－i｜＝｜z｜＋1，即｜z－i｜＝｜a＋（b－1）i｜＝＝｜z｜＋1＝＋1，即＝＋1，化简可得b＝－，则a＝0且b≤0，此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误.故选A、C. 6.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出 ... ...
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