湖南省长沙市长郡中学 2025-2026学年高一上学期 1月期末数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的． 1. 设集合 为奇数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. 若 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 第 1页/共 14页 4. 若一个扇形的圆心角为 ，半径为 7，则其弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5. 已知 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 下列 是 的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 第 2页/共 14页 7. 美国生物学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的 “皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知 描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物 的高为 1米，经过 1年，该植物的高为 3米，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8. 已知 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 第 3页/共 14页 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数 的定义域为 B. 函数 的零点为 C. D. 【答案】BD 10. 若函数 的图象为曲线 ，则（ ） A. 曲线 关于点 对称 B. 将曲线 沿着 轴向右平移 个单位长度得到曲线 C. 将曲线 沿着 轴向下平移 2个单位长度得到曲线 第 4页/共 14页 D. 将曲线 上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 【答案】ABC 11. 若函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ） A. B. 当 时， C. 当 时， 单调递增区间为 和 D. 当 时， 的单调递增区间为 和 【答案】ABD 第 5页/共 14页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边过点 ，则 _____． 【答案】 13. 函数 （ ，且 ）的图象必经过的定点是_____. 【答案】 14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合 叫做有限集，用 表示有限集合 中元素的个数．设 集合 ，若 第 6页/共 14页 ，则实数 的取值集合用列举法表示为_____． 【答案】 第 7页/共 14页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数 x，y 满足 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）当 x，y 均为正实数时，求 的最小值，并求取得最小值时 的值． 【答案】（1） （2）最小值为 ，此时 【小问 1 】 因为 ，所以 ， 又 ，即 ，化简得 ， 所以 ， 故 的取值范围为 ． 【小问 2 】 因为 ， 所以 ， 当且仅当 且 ，即 时取等号， 第 8页/共 14页 故 的最小值为 ，此时 ． 16. （1）已知实数 a，b 满足： ，求 值； （2）已知 ，求 值． 【答案】（1） ；（2）20 （1）因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ； （2）因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 17. 已知函数 为奇函数． （1）求实数 的值； （2）求证： 在 上单调递增； （3）若 在区间 上有解，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【小问 1 】 因为函数 是定义在 上的奇函数， 所以 ，即 ，解得 ， 第 9页/共 14页 此时 ，则 ，满足题意， 故实数 的值为 ． 【小问 2 】 由（1）可得 ， 任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，且指数函数 在定义域 上单调递增， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 因此 ，即 ， 故根据函数单调性的定义得，函数 在 上单调递增． 【小问 3 】 由（2）可得，要使得 在区间 上有解， 只需 ， 而当 时， ，所以 ， 所以 ，所以 ， 故实数 的取值范围为 ． 18. 已知函数 ． （1）把 化为 的 ... ...
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