第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示

第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 课标要求 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）. 知识点一｜空间中点、直线的向量表示 问题1　（1）在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ （2）我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l吗？如何用向量表示直线l？ 【知识梳理】 1.点的位置向量 如图，在空间中，取一定点O作为　　　　，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的　　　　. 2.空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，将＝a代入①式，得＝　　　　②. ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. 3.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的　　　　唯一确定. 　　提醒：（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.（2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 【例1】　（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（　　） A.0 B.1 C. D.3 （2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　　） A.以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B.以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C.直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D.直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） 【规律方法】 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 训练1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是（　　） A.（2，2，6） B.（1，1，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） （2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是　　　　. 知识点二｜空间中平面的向量表示 问题2　（1）向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ （2）如果点P在平面ABC内，则，，之间有什么关系？如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 【知识梳理】 1.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝　　　　. 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的　　　　.过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为　　　　　　　. 　　提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 【例2】　 （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　　） A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） （2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　. 【规律方法】 1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取. 训练2　（1）若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　　） A.（0，－3，1 ... ...