二月阶段性测试 2023 级高三数学试卷 (本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟) 第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 若复数 ，则 () A. B. C. D. 3. 在等比数列 中，若 ，则 ( ) A. 6 B. 9 C. 15 D. 81 4. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 () A. B. 4 C. D. 5. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 6. 从装有 3 个黑球和 3 个白球(球的大小、质地完全相同)的不透明袋子中随机取出 2 个球，已知三个白球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的 2 个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为( ) A. B. C. D. 7. 设双曲线 的右顶点为 ,过点 且斜率为 2 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点 (其中点 在第一象限). 若 为坐标原点,点 满足 , ，则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 的部分图像如图所示,且阴影部分的面积为 , 则下列说法正确的有( ) A. 函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一个对称轴 C. 要得到函数 ,需将函数 向右平移 个单位长度 D. 函数 在区间 上单调递增 10. 已知 ,且 ,则下列说法正确的有( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 4 11. 在正四面体 中,已知 平面 平面 ,点 分别在棱 上, 下列说法正确的是( ) A. 若 分别为棱 的中点，且平面 不经过点 ， 则 平面 B. 当 为棱 的中点时,平面 平面 C. 若四面体 的棱长为 2,则其外接球的体积为 D. 若点 为 的中点，则 与平面 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题:本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分. 12. 在 的展开式中, 项的系数是_____. (用数字作答) 13. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线交于 两点,其准线与 轴的交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则 的值为_____. 14. 已知函数 ，直线 与 和 均相切，切点分别为 ，则 _____. 第 II 卷(非选择题 共 77 分) 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,且 的面积为 . (1)求 的值； (2)若 ，求 的周长. 16. (本小题满分 15 分)如图所示，四边形 与 均为菱形， ，且 . (1)求证:平面 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值； (3)试问直线 上是否存在点 ，使直线 平面 ，若存在， 求出点 的位置; 若不存在,请说明理由. 17. (本小题满分 15 分) 为落实中央经济工作会议 “坚持内需主导, 建设强大国内市场” 的精神, 某市大力推行某项消费补贴政策. 政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”, 形成消费涟漪, 进一步扩大内需. 政策规定每个家庭在 2026 年一年内有两次机会领取补贴, 每次消费 5000 元以上可以领取 500 元补贴. 通过调查可知,该市有 的家庭了解政策; 在所有了解政策的家庭中，有 的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有 的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向. 调研发现,每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为 ，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为 . (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是 “因了解政策而产生消费意向” 的概率; (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴 ... ...
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