高三数学 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。 1. 若集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，则 的虚部为( ) A. -1 B. 1 C. i D. 3. 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 4. 若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 ( ) A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1 5. 若函数 是奇函数，则 的值为( ) A. 2 B. -2 C. -1 D. 1 6. 已知圆 与直线 相交于 两点， 当 最小时， 的值为( ) A. B. C. D. 7. 已知四面体 满足 均为等腰三角形,若 ，则该四面体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 若 ，则下列不等关系一定不成立的是( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分。 9. 下列命题为真命题的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 10. 下列说法中正确的有( ) A. 一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为 51 B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个分量之间没有线性相关关系 C. 经验回归方程为 时的观测值为 34,则残差为 0.009 D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ,若 ,则总体方差 11. 已知双曲线 ， 为坐标原点， 、 分别是双曲线的左右焦点， 是双曲线位于第一象限上的点， 、 分别是 的内心、重心，则下列说法正确的是( ) A. 的横坐标为 B. 直线 与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若 轴,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____. 13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，满足 ，则椭圆 的离心率 _____. 14. 已知 ,则 _____； _____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知 分别为 的内角 对边, 且 . (1)求 ； (2)已知 是边 的中点，求 的最大值. 16. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由. 17. (15 分) 2026 年被业界公认为 “具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪磨式下降和视觉一语言一动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、 小华、小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,通过第一轮后通过第二轮的概率依次为 , 假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率: (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望. 18. (17 分) 已知函数 ，e为无理数且 (1)求 在区间 的最值； (2)若 对 恒成立，求 的取值范围； (3)对于 ，证明: . 19. (17 分) 已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的一点且有 . (1)求抛物线 的方程； (2)已知点 ，连接 、 并延长交抛物线 于另外一点 . (i) 若抛物线 上有且仅有 3 个点 、 、 使得 、 、 的面积均为定值 ,求 的值; (ii) 已知点 是抛物线 上异于 的两点,且 是 的角平分线. 请问直线 是否过定点 ,若过定点,求出 点的坐标,若不过定点,请说明理由. 高三数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C D A B C BD ABC ABD 三、填空题 12 题: -1 13 题: 题: 12. 13. 设 ... ...
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