2025-2026 学年度(下)高三年级入学考试 数学试题 一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 ,则 的虚部为 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 已知集合 ，若 ，则满足条件的实数 的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知学生每日有效学习时间和其数学成绩相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是 A. 每日学习时间长, 数学成绩就一定高 B. 每日学习时间长, 数学成绩就一定低 C. 随着每日学习时间由短到长, 数学成绩呈上升趋势 D. 随着每日学习时间由短到长, 数学成绩呈下降趋势 4. 在 中,若 ,设 ,则 A. B. C. D. 5. 设抛物线 的焦点为 ,过抛物线上点 作其准线的垂线,设垂足为 ,若 ,则 A. 5 B. 4 C. D. 6. 已知 ,则 A. B. 14 C. D. -14 7. 若直线 是曲线 与曲线 的公切线,则 A. 0 B. 1 C. D. 8. 在平面四边形 中, 是边长为 的等边三角形, 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形,将该四边形沿对角线 折成四面体 ,在折起的过程中, 四面体的外接球表面积最小值为 A. B. C. D. 二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求的. 9. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 , 则下列说法正确的有 A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列 C. 数列 为等差数列 D. 10. 正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点， 为棱 上靠近 的三等分点,则下列正确的有 A. 沿正方体表面从 到 的最短距离为 B. 三棱柱 的体积为 2 C. 为 内的动点,则 最小值为 D. 是直线 上的动点， 是直线 上的动点，则 的最小值为 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率, 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 是 的导数， 是 的导数),以下结论正确的是 A. 函数 当且仅当在最值处的曲率为 1 B. 曲线 的图象上任一点曲率恒为常数 C. 函数 在点 处的曲率最大 D. 若函数 在 处的曲率相同,则 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 公众号山城学术圈. 12. 若角 顶点与原点重合,始边与 轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点 ,且 ,则 _____. 13. 已知 ,若存在 使得 ，则 的最大值为_____. 14. 甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛(每两人赛一场)，规定每局胜者得 2 分， 平局各得1分，负者得 0 分。比赛结束后，四人的得分各不相同，且第二名的得分是最后两名得分之和的 。则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中,内角 的对边分别为 . 若 . (1)已知 ，求三角形的三边长； (2)若 ， 为 中点，求 外接圆半径. 16. 已知数列 首项不为 0， ，则: (1)若 且 ，则数列 前 10 项和为多少？ (2)是否存在实数 ，使得 成立？ 17. 如图,圆台的下底面圆 的半径为 , 为圆 的内接正方形. 为上底面圆 上两点, 为 的中点,且平面 平面 . (1)求证: ； (2)若 ，直线 与平面 所成角正弦值为 ，求线段 长度. 18. 已知 ,其中 . (1)讨论 的单调性; (2)已知 . (i) 若 在 处的切线 经过坐标原点,求实数 的值与 的方程; (ii) 对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围. 19. 已知 为坐标原点，动圆 过点 且与直线 相切. (1)设圆 的圆心 的轨迹为曲线 ,求曲线 的方程； (2)(i)过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 两点，过 分别作曲线 的两条切线 ,记 与 的交点是 ,若 的面积为32,求 的值; (ii) 将 绕 轴旋转一周得到一个旋转体,求该旋转体体积的最小值. 重庆 2025-2026 学年度 (下) 高三年级入学考试 试题数学参考答案及评分建议 1.【解答】因为 ,所以复数 的虚部为 2,故选: . 2.【解答】因为 且 ,所以 ,又因为 ,所以 或 , 当 时, ,该情况不成立; 当 时, 或 : ... ...
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