高 三 数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知命题 ,则命题 的否定为 A. B. C. D. 2. 已知幂函数 的定义域为 ,则 A. B. 2 C. D. 4 3. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤这 5 个项目中分别随机选择其中 1 个项目,记事件 甲和乙选择的项目不同,事件 甲和乙恰好一人选择项目①,则 A. B. C. D. 4. 若直线 . 过抛物线 的焦点,与抛物线交于 两点,且线段 中点的横坐标为 3,则弦 的长为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变, 而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 (单位:贝克) 与时间 (单位:天)满足函数关系 ( 为自然对数的底数)，其中 为 时该同位素的含量，已知当 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 -1 ，则 A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 6. 在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中系数最小项的系数为 A. -126 B. -70 C. -56 D. -28 7. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦,则正实数 的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若函数 恰有三个零点时,关于 的函数 的零点个数为(参考数据: ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ,其中 ,则 A. B. C. D. 10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则 A. 若 ,则 B. 若 ,则 是锐角三角形 C. 若 ,则 为钝角三角形 D. 若 为锐角三角形,且 ,则 的最小值为 8 11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则 A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知集合 ,且 ,则 的取值范围是_____ 13. 在三棱锥 中, 都是等边三角形,且 ,则三棱锥 表面积的最大值为_____. 14. 某文件被切分成 个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为 ,且相互独立. 当成功上传了 个分片时,文件可被成功恢复的概率为 . 为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 的最小值为_____. (参考数据: ) 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (1)若 ,求 的值； (2)若偶函数 与 的图象关于直线 对称,且 在 上单调递增, 求 的值. 16.(本小题满分 15 分) 在平面四边形 中， 为边长为 2 的正三角形， 为等腰三角形且 ，将 沿 向上翻折至 ，其中 为动点. (1)若 ，证明: 平面 ； (2)当直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值时，求点 到平面 的距离. 17. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交椭圆于 两点,若 的周长为 8 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 的斜率之积为 ，试判断 的面积 是否为定值,并说明理由. 18. (本小题满分 17 分) 已知函数 的定义域为 ,区间 ,当 时,如果 ,则称函数 是 上的凹函数. 若函数 在 上连续,在 上可导,则 为凹函数的充要条件是其导函数 在 上单调递增. (1)证明:函数 是凹函数； (2)若函数 是 上的凹函数,证明: 对于任意的 和任意的 ,总有 ; (3)求证:( ，其中 均为正数. 19. (本小题满分 ... ...
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