高三数学 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符 合题目要求. 1. 已知全集 ，集合 或 ， ，则 Venn 图中阴影部分表示的集合为( ) A. B. C. D. 2. 若 ，复数 所对应的点在实轴上，则实数 等于( ) A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 3. 在一次篮球比赛中, 某支球队共进行了 8 场比赛, 得分分别为 29,30,38,25,37,40,42,32 , 那么这组数据 第 75 百分位数为( ) A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 已知向量 的夹角为 ,且 ,则 ( ) A. 1 B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上时或抛满 100 次时结束,设抛掷的次数为 ,则随机变量 的数学期望 ( ) A. 大于 2 B. 小于 2 C. 等于 2 D. 与 2 的大小无法确定 6. 已知 为正项数列 的前 项和. 若 ，且 ，则 ( ) A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 7. 为等边三角形 所在平面内的一点,向量 ,且 . 设向量 与 的夹角为 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ， 有 5 个不相等的实数根，从小到大依次为 ， ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 若数列 为等差数列,公差为 ,其前 项和为 ,则 ( ) A. B. C. D. 使 的最小正整数 的值为 22 10. 已知函数 对 都有 ,且函数 的图像关于点 对称,当 时, ，则下列结论正确的是( ) A. B. 在区间 上单调递减 C. 是 上的偶函数 D. 函数 有 6 个零点 11. 在长方形 中, ，点 分别为边 和 上两个动点(含端点)，且 ，设 ,则 ( ) A. B. 为定值 C. 的最小值 50 D. 的最大值为 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12. 已知公比不为 1 的等比数列 中， 且 、 、 成等差数列，则 _____(结果用幂表示) 13. 将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为_____. (结果用分数表示) 14. 若实数 满足 ，试确定 大小关系是_____. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知锐角 的内角 ,所对的边分别为 ,且 . (1)求角 ； (2)若 ，求 的周长的取值范围. 16. 已知数列 的前 项和为 ,数列 为等差数列,且满足 . (1)求数列 和 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 17. 已知椭圆 两个焦点 ，过 点且与坐标轴不平行的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 的周长等于 16. (1)求椭圆 的标准方程； (2)若过点 的直线与椭圆 交于两点 ，设直线 的斜率分别为 . 求证: 为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为 ,各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于 个元件正常工作时,设备正常运行,否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 (例如: 表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率， 表示控制系统由 5 个元件组成时设备正常运行的概率). (1)若 ，当 时，求控制系统中正常工作的元件数 的分布列和数学期望，并求 ； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下， 单位时间的产量是原来的 4 倍,且出现了高端产品,每件产品成为高端产品的概率为 ,每件高端产品的利润是 2 元. 记设备升级后单位时间内的利润为 (单位:元). (i) 请用 表示 ; (ii) 设备升级后, 已知该企业现有控制系统中有 5 个元件, 若增加 2 个元件, 则单位时间内的利润是否提高. 19. 已知函数 ,当 时, 恒成立. (1)求实数 a 的取值范围； (2)若函数 ，当实数 取最小值时，求使得关于 的不等式 恒成立的最大整数 ； ( 3 )已知 ，证明: . 参考答案 15【小问 1 】 由已知得, , 则根据正弦定理得 , , 为锐角三角形, . 【小问 2 】 由正弦定理得 ,即 , 则 , 因为 ,解得 ,得 , 所以 ,得 . 16 ... ...
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