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课件网) 8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 课标定位 素养阐释 1.了解二面角的定义,能够找出二面角的平面角,并能通过数学运算求简单空间图形中二面角的大小. 2.理解及掌握平面与平面垂直的判定定理,并能运用定理进行分析解决有关问题. 3.在探索和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,提升空间想象能力及逻辑推理能力. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、二面角的定义 1.修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度,那么两平面形成角的大小如何确定 提示:可用二面角的平面角. 2.(1)定义:如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. (2)记法:棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β .也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q .如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q . (3)二面角的平面角: ①定义:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②直二面角:平面角是直角的二面角. ③二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 3.若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则l与平面AOB的位置关系是 . 答案:l⊥平面AOB 二、两平面垂直 1.当两个平面互相垂直时,一个平面内一条直线垂直另一平面内任意一条直线吗 提示:不一定. 2.(1)一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)平面α与β垂直,记作 α⊥β . (3)如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. 3.过一点可以作 个平面与已知平面垂直. 答案:无数 三、平面与平面垂直的判定定理 1.我们知道直三棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱所在平面与底面垂直.当直线与已知平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系 提示:垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理 3.如图,在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则图中互相垂直的平面有 . 答案:平面ABD⊥平面BCD,平面ACD⊥平面BCD 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的. ( √ ) (2)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.( × ) (3)若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.( √ ) (4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,那么α⊥β.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 求二面角的大小 【例1】 已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB. 求:(1)二面角A-PD-C的平面角的度数; (2)二面角B-PA-D的平面角的度数; (3)二面角B-PA-C的平面角的度数. 解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD. ∵PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD,又CD 平面PCD, ∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C的平面角为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 由题意可得∠BAD=90°, ∴二面角B-PA-D的平面角为90°. (3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°. 即二面角B-PA-C的平面角为45°. 在本例中,二面角P-BC-D的平面角的度数又该如何求解 解:∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD, ∴PA⊥BC. 又BC⊥AB,且AB∩AP=A, ∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB. ∴∠PBA为二面角P-BC-D的平面角. 在Rt△PAB中,AP ... ...
