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课件网) 6.3.1 二项式定理 第六章 2026 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 4.通过该节的学习,理解从特殊到一般的思维方法,培养观察归纳能力、抽象思维和逻辑思维能力. 自主预习 新知导学 二项式定理 1.我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2, (1)试用多项式的乘法法则推导(a+b)3,(a+b)4的展开式; (2)上述两个展开式有何特点 (3)你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗 提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. (2)(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4. (3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)(a+b)n的展开式中共有n项.( × ) (2) an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.( × ) (3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式中各项的二项式系数相同.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 二项式定理的正用与逆用 运用二项式定理的解题策略 (1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉二项展开式的项数、次数、各项幂指数的规律、各项的系数等特点. 探究二 二项式系数与项的系数问题 1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项的二项式系数与系数两者的区别. 2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 【变式训练2】 (2x+1)6的展开式中含x4项的系数为( ) A.60 B.120 C.240 D.480 答案:C 探究三 与二项展开式中的特定项有关的问题 (一)求二项展开式中特定的项 (1)n的值; (2)展开式中含x3的项. 1.本例条件不变,求二项展开式中的常数项. 2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项. 求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (2)求常数项.对于常数项,其隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理项,是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. (4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. (1)n的值; (2)含x2的项的系数; (3)展开式中所有的有理项. (二)由二项展开式某项的系数求参数问题 答案:D 由二项展开式某项的系数求参数问题的关键是抓住其通项公式,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解. 答案:A 探究四 二项式定理的综合应用 【例5】 (1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.80 B.120 C.240 D.320 (2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5), 故展开式中x3y3的系数为40+80=120. (2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4, 故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系数之和为(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3. 答案:(1)B (2)3 1.两个二项展开 ... ...
