数学试题 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 整理排版。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求. 1. 在等差数列 中, ,则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合 ,则图中阴影部分表示的集合为 A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知 是偶函数,当 时, ,则 A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 4. 在 所在的平面内, 关于 的对称点是 ,则 A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则 “ 的最小正周期大于 4 ” 是 “ 在 上单调递增” 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句. 某瓷枕如左图所示，其横截面如右图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知正三棱台 的高为 ，则二面角 的大小为 A. B. C. D. 8. 将一些相同的小球放入一排相同的盒子中, 每个盒子中至多放一个小球. 若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为 ,要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为 ,若 ,则这一排盒子的总个数为 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求. 公众号山城学术圈全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 若复数 ,则 A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 若 ,则函数 的大致图象可能为 A B C D 11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,且与圆 外切,则下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则点 的坐标为 C. 若 ,则数列 的前 项和小于 D. 的取值范围为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在一组数据1,2,3,5,7中加入一个数 后,得到一组新数据,且新数据组的 60% 分位数等于原数据组的 60% 分位数,则 _____. 13. 已知 是抛物线 上的一个动点， ，点 到 轴的距离为 ，且 的最小值为 4，则 _____. 14. 在长方体 中， 且 ，一只蚂蚁从顶点 出发沿长方体的表面爬到顶点 ，若蚂蚁爬行最短路径的长度为 ，则该长方体体积的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为 0.8, 0.5 . 现有两种答题方案:方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金 15 元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金 25 元; 方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答, 每猜对一道得奖金 15 元. (1)若甲选择方案一的奖金金额为 元，求 的分布列与期望. (2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案？并说明理由. 16. (15 分) 已知 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求 及 ； (2)求 周长的最大值. 17. (15 分) 已知函数 . (1)若曲线 在点 处的切线与曲线. 在点 处的切线垂直，求 ； ( 2 )若函数 有两个极值点,求 的取值范围. 18. (17 分) 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， (1)证明: 平面 . (2)已知 ，点 ， ， ， ， 在同一个球的球面上，设该球的球心为 . ①在图中指出点 的位置，并说明理由； ②若 为线段 上的一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 . 19. ... ...
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