数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 若复数 ，则 A. 1 B. C. 3 D. 5 2. 与向量 反向的单位向量是 A. B. C. D. 3. 已知集合 ，以下判断正确的是 A. 是 的充分条件 B. 是 的既不充分也不必要条件 C. 是 的必要条件 D. 是 的充要条件 4. 若函数 ( 为自然对数的底) 的一条切线与 轴平行,则切点的坐标为 A. B. C. D. 5. 已知 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,以下判断正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 6. 一个铅垂做单摆运动时,离开平衡位置的位移 关于时间 的函数图象如图所示,函数关系满足 ,当 时, 不可能是 A. B. C. D. 7. 将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行，前三位数字构成三位数 ，后三位数字构成三位数 ， 记 ， 大于 100 的概率是 A. B. c. D. 8. 已知双曲线 的焦点为 ,过点 的直线与双曲线 交于 两点. 若 ,则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分) 9. 在某班级的一次测验后, 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本, 这 7 名同学的成绩分别为 78, 80, 81, 84, 87, 88, 90, 则 A. 估计这次考试全班成绩的平均分为 84 B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C. 样本的 75% 分位数是 87 D. 当该样本中加入 84 形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 10. 已知曲线 ,则以下说法正确的是 A. 点 在曲线内部 B. 曲线关于原点对称 C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是 11. 已知函数 和 ，以下判断正确的是 A. 函数 在区间 内有唯一的零点 B. 时, C. 时, D. 存在正实数 ，当 时，对于任意大于 1 的正实数 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 函数 在 上的最小值为_____. 13. 在锐角三角形 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为_____. 14. 正方体 的棱长为 2，平面 截正方体内切球所得的截面面积为_____. 四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13 分)已知正四棱柱 底面边长为3，点 、 分别在直线 、 上， ， . (1)证明: 平面 ； (2)若三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 16. (15 分)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.” 这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶. 某文具店试销二十四节气书签, 每套书签 24 张, 分别印有春夏秋冬四季节气各 6 米. 文具店为促销进行抽奖活动, 凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下:从一套书签中挑出 6 张春季卡，6 张夏季卡，将其中 3 张春季卡和 3 张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的 3 张春季卡和 3 张夏季卡放在盒外. 现从盒中随机抽出一张卡, 若抽出春季卡, 则把它放回盒子中, 若抽出夏季卡, 则该卡与盒外的一张春季卡置换. 如此操作不超过 4 次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得 2 套二十四节气书签，否则不获奖. (1)求只抽 3 次即获奖的概率； (2)若促销的 30 天中预计有 360 人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理 17. (15 分) 已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过 ... ...
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