立体几何--立体几何中的最值问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 立体几何--立体几何中的最值问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A． B． C． D． 2．已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（ ） A． B． C． D．2 3．已知一个圆锥的体积为，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．点是底面上的动点，且，则最大值为 C．的中点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 7．如图，直四棱柱的底面是菱形，，点是棱的中点，若动点满足，点的轨迹截该四棱柱所得形状为，则（ ） A． B．为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为 8．已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A．圆锥的侧面积为 B．当时，三棱锥的体积最大 C．直线与直线夹角的取值范围是 D．若二面角的大小为，则的面积为 9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3 C．点到直线的距离是 D．直线与平面所成角正弦值的最大值为 10．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ） A．若，，则点到平面的距离为 B．存在使得四棱锥有外接球 C．若，则棱锥体积的最大值为 D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 三、填空题 11．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 . 12．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为 . 13．在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ． 14．三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为 . 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 16．如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 17．在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上． (1)求直线CD与外接圆的“线圆距离”； (2)求平面与三棱锥外接球的“面球距离”； (3)当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值． 18．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点，证明：//平面； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体 ... ...