河南省信阳高级中学新校(贤岭校区) 2025-2026 学年高二下期 03 月测试 (一) 数学试题 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 ，则 等于( ) A. B. C. D. 或 2. 已知 是虚数单位，复数 在复平面内对应的坐标为 ，则复数 的虚部为( ) A. 1 B. 2 C. D. 3. 正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4. 中国戏曲中人物角色的行当分类, 可以有生、旦、净、末、丑五大行当. 现有 3 名男生和 2 名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演, 旦行由女生扮演, 则不同的人物角色扮演方式共有 ( ) A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种 5. 已知圆 ，直线 . 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 ，则 的值为( ) A. B. 0 C. D. 6. 某 AI 公司每天维护 1000 个训练任务节点,每星期一有 两种数据更新方案可选. 统计显示,凡是在星期一选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案; 而选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案. 用 分别表示在第 个星期的星期一选择 方案和选择 方案来维护训练任务节点的个数,则 与 的关系可以表示为( ) A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点, 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 4 8. 关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列命题中，正确的有( ) A. “ ” 是 “ ”的必要不充分条件 B. 若 ,则 C. 若实数 满足 ,则 的最小值为 D. 10. 如图,已知点 是棱长为 的正方体 表面上一动点,则下列结论正确的有( ) A. 当点 在线段 上时， B. 当点 在线段 上时， 平面 C. 当点 在面 上时,三棱锥 外接球的表面积的最大值为 D. 当点 在面 上时,若 ，则点 的轨迹长度为 11. Sigmoid 函数 是一个在生物学中常见的 型函数,也称为 型生长曲线, 常被用作神经网络的激活函数. 记 为 Sigmoid 函数的导函数,则( ) A. B. Sigmoid 函数是单调减函数 C. 函数 的最大值是 D. 三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____. 13. 已知定义在 上的函数 ,满足 ,且 ,则不等式 的解集为_____ 14. 已知正 边形 内接于单位圆 ,且满足 的顶点 共有 个,若正三角形 的顶点 在圆 上,则 的最大值为_____. 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤. 15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证: . 16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 ； (2)在 边上存在一点 ，使得 ，连接 ，若 的面积为 ， 的平分线交 于 点,求 的值. 17. 如图①，在平面内，正方形 的边 ， 分别为两等腰直角 ， 的腰. 将 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合，记为点 ，得到一个四棱锥 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点，如图②. 图① 图② (1)求证: 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正弦值； (3)若 平面 ，求 的值. 18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 . (1)求 的标准方程； (2)P 为 上一点且在第一象限，点 ， ，延长 ， 分别交椭圆 于 两点. (i) 若 ,求直线 的斜率; (ii) 连接 ,记 的面积为 的面积为 ,求 的最大值. 19. 已知函数 . (1)当 时，求曲线 过点 的切线方程； (2)若函数 有 2 个极值点 ，且 . (i) 求实数 的取值范围; (ii) 求证: . 1. A 因为 或 ,所以 ... ...
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