秦皇岛市实验中学 2025-2026 学年度第二学期开学测验 高二数学试题 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线 的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 2. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的公差为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 三棱锥 中, ,点 为 中点,点 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. 32 B. 32 或 124 C. 31 或 124 D. 124 5. 已知椭圆 的左、右焦点为 ,离心率为 ,过 的直线 交 于 两点,若 的周长为 ,则 的值为. A. 4 B. 2 C. D. 6. 设 ,向量 且 ,则 ( ) A. B. 3 C. D. 4 7. 与双曲线 有共同渐近线,且过点 的双曲线方程是 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 为等比数列,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 9. 已知曲线 的方程为 ,则下列结论正确的是 ( ). A. 若曲线 为圆,则 的值为 2 ; B. 当 时,曲线 为双曲线,其渐近线方程为 ; C. “ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件； D. 存在实数 使得曲线 为双曲线,其离心率为 . 10. 在空间直角坐标系 中,下列说法正确的有( ) A. 与点 关于 轴对称的点的坐标为 B. 若 是空间向量的一组基底,且 ,则 也是空间向量的一组基底 C. 已知 ,则 在 上的投影向量的坐标为 D. 已知 ，平面 的法向量为 ，则 11. 已知公差为 1 的等差数列 满足 成等比数列,则() A. B. 的前 项和为 C. 的前 2025 项和为 -1014 D. 的前 10 项和为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若椭圆的焦点在 轴上,长轴的长为 4,离心率 ,则其标准方程为_____. 13. 数列 的前 项和 ,若 ,则 _____. 14. 已知向量 是平面 的一个法向量,向量 为直线 的一个方向向量,若 ,则 的值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤 15. 已知数列 为递增的等比数列, . (I) 求数列 的通项公式; (II) 记 ,求数列 的前 项和 . 16. 如图,四棱锥 的底面 是正方形,侧棱 底面 是 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)求二面角 的平面角的余弦值. 17. 已知椭圆 的左顶点为 ,离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 的直线 1 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 取得最大值时，求 的面积. 18. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ,斜率为 -1 的直线 与 交于 两点. (1)求 的方程； (2)若 ，求直线 的方程； (3)设直线 与 的斜率分别为 ，证明: 为定值. 19. 已知等差数列 的前 项和为 ,数列 满足 . (1)求数列 和 的通项公式； (2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 1. A 抛物线 整理为标准形式 ,故焦点在 轴上, 又 的焦点坐标为 , 由 得, ,所以此抛物线的焦点坐标为 . 故选: A. 2. B 设等差数列 的首项和公差分别为 和 ,则由题意可得 ,联立解得 . 故选:B. 3. C ,又 为 中点, . 故选: 4. C ,则 或 , 当 时,公比 , 则 . 当 时,公比 , 则 . 5. C 解: 由椭圆的离心率 , 若 的周长为 , , 由 , 故选 . 6. B 向量 ,且 , ,解得 , , , 故选: B 7. A 设与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程为 , 所求双曲线过点 , 代入 , 得 ,即 , 与双曲线 有共同渐近线,且过点 的双曲线方程是 , 即 . 故选: A. 8. D 由题意得 为等比数列,则设首项为 ,公比为 , 因为 ,所以 , 联立方程组 ,解得 , 结合题意可得 是首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 50 项和, 由求和公式得前 50 项和为 ,故 D 正确. 故选: D 9. AC 选项,当方程表示圆时, ,圆的方程为 正确. 选项, 时,方程为 ,表示双曲线,渐近线方程为 错误. 选项,当方程表示椭圆时, 椭圆”的充分不必要条件, 正确. D 选项,当双曲线离心率为 时,双曲线为等轴双曲线,则 ,此方程无解, D 错误. ... ...
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