高三数学 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 设 是虚数单位,则 “复数 为纯虚数” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 4. 已知圆台上底面直径为 2，下底面直径为 4，母线长为 3，则该圆台的体积为( ) A. B. C. D. 5. 一组从小到大排列的数据: ,23 . 若它们的 70 百分位数是中位数的两倍,则 的值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 6. 数列 的通项公式为 为其前 项和,则 的最小值为( ) A. -9 B. -7 C. -3 D. -19 7. 已知函数 ,若 在 部分的图象与直线 恰好产生了三个交点,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知直线 与 相交于点 ，点 在圆 上，则( ). A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 9. 如果平面向量 ,那么下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. 与 的夹角为 D. 在 方向上的投影为 10. 设函数 的定义域为 ,且满足 ,当 时, ,则 ( ) A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程 在区间 内恰有 1012 个实数解 11. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为坐标原点, 为 上异于左、 右顶点的一点, 是线段 的中点,则( ) A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 1 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若圆 与 轴相切，则实数 的值是_____. 13. 已知二面角 为直二面角, ,则 与 所成的角分别为 与 所成的角为_____. 14. 已知函数 ,若函数 ,则 的所有零点之积为_____；方程 有三个不同的解，则实数 的范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤. 15. 已知 ,且 的解集为 . (1)当 ，求函数 的解析式； (2)若关于 的不等式 对一切实数恒成立，求实数 的取值范围. 16. 已知平面向量 ,且 (1)求 在 方向上的投影向量； (2) 求 与 的夹角； 17. 在三棱柱 中， ， 为 的三等分点，侧面 为正方形， . (1)证明:平面 平面 ； (2)证明: 平面 ； (3)正方形 边长为 3, ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 已知 为抛物线 的焦点,点 在 上, . 点 , -2), 是抛物线上不同两点,直线 和直线 的斜率分别为 . (1)求 的方程； (2)存在点 ，当直线 经过点 时， 恒成立，请求出满足条件的所有点 的坐标; (3)对于(2)中的一个点 ，当直线 经过点 时， 存在最小值，试求出这个最小值. 19. 已知 (1) 时,证明: ; (2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围； (3)证明:对任意的正整数 ，总有 . 1. A 因为 ,则 , 所以 . 故选: A. 2. A 因为 , 若复数 为纯虚数,则 ,所以 ; 即 “复数 为纯虚数” 是 “ ” 的充分条件; 若 ,则 ,但复数 不是纯虚数; 即 “复数 为纯虚数”不是 “ ” 的必要条件; 综上,“复数 为纯虚数”是“ ”的充分不必要条件. 故选: A. 3. C 因为 ,则 , 由于 , 当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 , 故选: C 4. A 由题意,如图 , 所以 . 故选: A 5. A 数据 已是由小到大的排列,数据共 10 个, 中位数为第 5 个与第 6 个数据的平均值即中位数为 , 由 ,因此 70 百分位数为第 7 个与第 8 个数据的平均值即 , 得 , 解得 , 故选: A. 6. D 令 ,因为 ,所以解得 , 所以数列 的前 3 项为负,从第 4 项起为正, 所以 的最小值为 . 故选: D. 7. C , 令 ,所以 , 问题转化为直线 与函数 ,当 时,有三个交点, 由 , 于是有 , 故选: 8. A 对于直线 ,可变形为 . 令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 . 对于直线 ,可变形为 . 令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 . 因为 ,所以 ,已知 ,则 ... ...
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