重庆南开中学高 2028 届高一数学练习(3.8) 数学试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上. 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 2. “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在 中， ， ， ，则 ( ) A. 2 B. 3 C. D. 4. 函数 在区间 上的图象大致为( ) A. B. C. D. 5. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知点 在幂函数 的图象上,设 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 7. 已知 ,且 ,则 ( ) A. 0 B. C. D. 8. ,在 上单调递增,且 为它的一条对称轴, 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为( ) A. B. C. D. 0 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 若角 是 的三个内角，则下列结论中一定成立的有( ) A. B. C. D. 10. 已知 ,且 ,则() A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家. 称为高斯函数,其中 ,且 表示不超过 的最大整数,例如 . 设函数 ，则( ). A. B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,则 _____. 13. 已知锐角 满足 ，且 ，则 _____. 14. 锐角 的内角 的对边分别为 ,若 , 则 的取值范围为_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中， 所对的边为 ，已知 (1)求角 的大小. (2)若 的面积为 且 ，求 的周长. 16. (本小题满分 15 分) 已知函数 . (1)求函数 的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程 在区间 上恰有两个不相等的实数根 ,求 的取值范围. 17. (本小题满分 15 分) 已知 分别为 三个内角 的对边,且 . (1)求 ； (2)若 ， 的面积为 . 周长为 ，求 的最大值. 18. (本小题满分 17 分) 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为 36 米，其中小圆弧所在圆的半径为 12 米，设大圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 ( )(弧度). (1)求 关于 的函数解析式，并求出 的取值范围； (2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 32 元/米，弧线部分的装饰费用为 8 元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 . (i) 求 关于 的函数解析式; (ii) 求出 的最大值和 取最大值时的 的值. 19. (本小题满分 17 分) 已知两个函数 ， ， ， 若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 成立，则称 为 的“友好函数”. (1)判断函数 是否为 的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数 是 的“友好函数”,求 的最小值; (3)已知函数 ,若 是 的“友好函数”,且 也是 的“友好函数”,求实数 的值及 的最大值. 重庆南开中学高 2028 届高一数学练习 (3.8) 参考答案 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D B C C 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 题号 9 10 11 答案 AC AB BCD 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 13. 14. 8. 因为函数 在 上单调递增,且 为它的一条对称轴, 所以 时函数取最大值,又因为 是它的一个对称中心, 所以 设 的最小正周期为 ,由正弦函数的对称性 ... ...
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