哈师大青冈实验中学 2025-2026 年开学考试 数学试卷 满分:150 分 时间:120 分钟 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.) 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定是( ) A. B. C. D. 3. 已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 ( ) A. B. C. D. 4. 若正实数 满足 ，则 的最小值为( ) A. 4 B. 7 C. 9 D. 10 5. 已知函数 为奇函数,且当 时, ,则 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 ( ) A. B. C. D. 7. 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 有四个不同的零点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.) 9. (多选)已知函数 的图象如图所示,则 ( ) A. B. C. D. 10. 已知函数 的部分图象如图所示,则( ) A. 的最小正周期为 B. 当 时, 的值域为 C. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点 对称 D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象 11. 已知函数 ,则( ) A. 的定义域为 B. 在区间 上单调递增 C. 的图象关于点 对称 D. 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，且 为第二象限角，则 _____. 13. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的最大值是_____. 14. _____. 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.) 15. 已知 ,计算下列各式的值. (1) ； (2) . 16. 已知函数 . (1)求函数 的最小正周期； (2)当 时,求函数 的最大值,以及相应 的值. 17. 已知 . (1)化简 ; (2)若 ，求 的值. 18. 已知函数 (1)若 ，当 时，求函数 的值域； (2)若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围. 19. 已知函数 (1)若 ， ，求函数 的解析式及对称轴； ( 2 )若 ， ， ，且，求 的值； (3)已知 ，函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 的图象, 是 一个零点,当 时,方程 恰有三个不相等的实数根 ,求实数 的取值范围以及 的值. 1. B 由集合 ,则 2. A 命题“ ” 的否定是 “ ”. 故选: A. 3. A 由角 的终边与单位圆的交点为 ,所以 . 再由诱导公式得 . 故选: A 4. C 因为正实数 满足 , 所以 , 当且仅当 等号成立,将 代入 解得 . 即 时等号成立,所以 的最小值为 9 . 故选: C 5. A 已知函数 为奇函数,且当 时, , 则 . 故选: A. 6. B 解法一: 函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到 的图象,再把所得曲线向右平移 个单位长度,应当得到 的图象, 根据已知得到了函数 的图象,所以 , 令 ,则 , 所以 ,所以 ; 解法二: 由已知的函数 逆向变换, 第一步: 向左平移 个单位长度,得到 的图象, 第二步: 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 的图象, 即为 的图象,所以 . 故选: B. 7. B 由于 , 所以 故选: B 8. C 由 得 ,因为函数 有四个不同的零点, 所以函数 与 的图象有四个交点, 画出函数 的图象,如图所示, 观察图象可知, ,即 ,所以实数 的取值范围是 . 故选: 9. BD 观察图象得,函数 是单调递减的,因此, , 图象与 轴交点纵坐标 有: ,而 时, ,于是得 ,解得 , 所以 . 故选: BD 10. AC A. ,故 A 正确; B. ,由图知 , 则 ,即 , 因 ,故 ,则 , 当 时, ,故 ,故 错误; C. 新函数 ,因 ,故 正确; D. 新函数 ,故 D 错误. 故选: AC. 11. BCD 对于函数 ,则 ,解得 且 , 所以函数的定义域为 ,故 A 错误; 当 时, , 因为 在 上单调递增,且 , 又 在定义域上单调递增, 所以 在区间 上单调递增,故 正确; 因为 , 所以 的图象关于点 对称,故 正确; 因为 ,所以 , 又 , 所以 ,即 , 所以 ,所以 ,即 ,故 D 正确. 故选: BCD 12. 因为 ,且 为第二象限角, 所以 , 又因为 , 即 ... ...
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