2025-2026 学年度第二学期开学初考试 高二数学学科试卷 第 I 卷 (选择题) 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分 1. 已知空间向量 ，若 ，则 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 已知 为等差数列， ， ，则 的公差为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 若 ,则 ( ) A. 2 B. -2 C. 10 D. -10 4. 已知圆 ,圆 ,则圆 与圆 的位置关系是( ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 是 上的动点, 是圆 上任意一点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 在三棱台 中， ，且 ，若 平面 ,则点 到直线 的距离为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以原点 为圆心, 为半径作圆,与双曲线 在第一、三象限分别交于 两点. 若四边形 的面积为 ,则双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 2 8. 已知数列 中, ,若对于任意的 , ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分, 全部选对的得 6 分, 部分选 对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列命题正确的是( ) A. B. C. 一物体的运动方程为 ，则其在 时的瞬时速度为 1 D. 已知函数 在 上可导,且 ,则 10. 已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的有( ) A. 直线 恒过定点 B. 直线 与圆 一定相交 C. 直线 与圆 可能相切 D. 当 时,直线 被圆 截得的弦长为 11. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ,点 为 上位于第二象限内的一点, 分别为 的左、右焦点,若 内切圆的圆心为 , 则 ( ) A. 点 到渐近线的距离为 3 B. 若 ,则 最小值是 C. 当 时, 的面积为 D. 若 为坐标原点,则 第 II 卷(非选择题) 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线在第一象限的交点为 ，若 ， 则以点 为圆心 3 为半径的圆被 轴截得的弦长为_____. 13. 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_____. 14. 在正方体 中,若棱长为 分别为线段 上的动点,则下列结论中错误的序号为_____. (1) 平面 (2)直线 与平面 所成角的正弦值为定值 (3)平面 平面 (4)点 到平面 的距离为定值 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. 已知圆 . (1)求圆 的半径； (2)若直线 与圆 相切于点 ，求直线 的方程. 16. 已知函数 的导函数为 ,数列 满足 . (1)求过点 的曲线 的切线方程； (2)若点 在 的图象上，求 的通项公式. 17. 如图,正四棱台 的高为 3,且 (1)求证:平面 平面 ； (2)求 与平面 所成角的余弦值. 18. 已知数列 的前 项和为 ,且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 19. 已知椭圆 过点 . (1)求椭圆 的方程以及离心率； (2)设直线 与椭圆 交于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 . 判断直线 是否过定点,并证明你的结论. 1. A 因为 且 , 所以 ,即 ,解得 ,所以 . 故选: A 2. C 设该等差数列的公差为 . 因为 , 所以 ,即 ,解得 . 故选: 3. A 由 求导得: , 则 ,解得 ,即 , 所以 . 故选: A 4. B 化简 ,则其圆心 ,半径 , 化简 ,则其圆心 ,半径 , 则 ,而 , 则 ,故两圆相交. 故选: B. 5. A 对于椭圆 ,则 ,故 、 , 圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 1,如下图所示: 由椭圆定义可得 ， 所以 , 当且仅当点 分别为线段 与椭圆、圆 的交点时,上述两个等号同时成立, 故 的最小值为 . 故选: A. 6. D 因为 平面 ,所以 ,又 ,所以 . 可以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 . 所以 , 所以 在 方向上的投影为 , 所以点 到直线 的距离为 . 7. 已知双曲线 的焦距为 ,则圆 的方程为 . 联立双曲线方程与圆的方程,消去 得: 又因为 ,所以 ,故 点纵坐标为 . 四边形 为平行四边形,面积为 . 由题意 ,即 . 又 ,故离心率 . ... ...
~~ 已预览到文档结尾了 ~~
