2025-2026 学年度高二下学期开学考试 数学试题 考试时间:120 分钟；满分 150 分 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3 :2,则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 4. 已知单位向量 与 的夹角为 ,则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知 在 上是周期为 4 的奇函数,当 时, ,则 等于 ( ) A. -2 B. 2 C. -98 D. 98 6. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 7. 设抛物线 的焦点为 ,过点 作直线 交抛物线于 两点,已知 , 则 ( ) A. B. C. D. 3 8. 已知点 在圆 上,点 在直线 上,点 为 中点, 若 ，则 的最小值为( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知 ,且 ,则() A. B. C. D. 10. 等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则下列选项中正确的是 ( ) A. B. 等差数列 的公差 C. 使 成立的 最小为 10 D. 当 时, 取得最小值 11. 已知向量 ，则()) A. B. C. 向量 在向量 上的投影向量是 D. 是向量 的单位向量 三、填空题 12. 已知等比数列的首项为 -1,前 项和为 ,若 ,则 的值为_____. 13. 已知 是一个随机试验中的两个事件,且 , 则 _____. 14. 2024 年 8 月 20 日国产第一款 3A 游戏《黑神话:悟空》上线，首日销量超 450 万份， 总销售额超过 15 亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图 1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥,如图 2,已知正六棱锥的高为 ,其侧面与底面夹角为 ,则六棱锥的体积为_____. 图1 图2 四、解答题 15. 已知数列 是公差不为 0 的等差数列,若 ,且 成等比数列. (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ； 16. 如图,已知 均是边长为 2 的等边三角形，且平面 平面 ， 为 的中点,且 . (1)证明: ； (2)若 ，求平面 与平面 夹角的大小. 17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ,且 ,求 的面积. 18. 已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， (1)证明数列 为等差数列，并求 ； (2)求数列 的前 项和为 . 19. 已知曲线 到两个定点 和 的距离和为定值 4 . (1)求 的方程； (2)过点 的直线 (斜率存在且不为 0 )与 交于 两点， 关于 轴的对称点为 . 已知 . (i) 证明: 三点共线; (ii) 求 的取值范围. 1. D 集合 ,则 , 所以 . 故选: D 2. D 解: 因为复数 满足 ( 为虚数单位),所以 故选: D. 3. C 由题意可知, ,则 ,设 ,则 , 所以 ,故 的离心率为 . 故选: C. 4. B . 故选: B. 5. A 因为 是 4 为周期的周期函数 所以 , 因为 在 上是奇函数,则 , 又因为当 时, ,则 故选: A. 6. B 因为 , 则 ,即 , 所以 , 则 . 故选: B. 7. B 由题可得 , 设直线 的方程为 , ,可得 , 所以 , 因为 ,所以 , 所以 , 所以 ,所以 , 所以 ,所以 , , 故选: B. 8. A 由题意可得圆的标准方程为 , 设圆心为 ,半径为 ,则 , 所以由垂径定理可得 ,故点 在以 为圆心,1 为半径的圆上, 因为点 到直线 的距离 , 所以 的最小值为 , 故选: A 9. BCD 选项 A: 取 ,则 ,故 , A 错误. 选项 B: ,由 得 ,故 , 当且仅当 时取等号, 正确. 选项 C: ,由 得 , 当且仅当 时取等号, 正确. 选项 D: ,由 得 , 当且仅当 时取等号, 正确. 故选: BCD 10. 对于 选项,因数列 为等差数列, ,则 ,且 , 则 ,所以 , A 错误; 对于 选项，由 知 ，则 ，则 ， 则公差 , B 正确; 对于 选项,由 ,得 或 ,因为 为正整数,所以 最小值为 正确; 对于 选项，因为 为正整数，所以 错误. 故选: BC. 11. AD 解: 对于 ,则 , 所以 ,故 正确; 对于 ,则 ,故 错误; 对于 ,向量 在向量 上的投影向量为 , 故 C 错误; 对于 ,因为向量 的模等于 1, ,所以向量 与向量 共线,故 ... ...
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