2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考试题 数 学 第 I 卷(选择题，共 58 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1. 若复数 满足 ，则 的虚部为( ) A. B. C. 1 D. 2. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为( ) A. B. -2 C. D. 2 4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 5. 有 2 位老师和 3 名学生排成一队照相, 老师既不能分开也不排在首尾, 则不同的排法有( ) A. 48 种 B. 12 种 C. 36 种 D. 24 种 6. 已知 是随机事件，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知定义在 上的奇函数 和偶函数 ,则当 时, 的最大值为( ) A. 2 B. C. -1 D. 1 8. 有这样一种说法: 一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离, 但实际上, 因为纸张本身有厚度, 所以我们并不能将纸张无限次对折, 当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了. 一张长边为 ，厚度为 的矩形纸张沿两个方向不断对折， 则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 . 在理想情况下，对折次数 满足关系: . 根据以上信息,一张长为 ,厚度为 的纸经过对折后的厚度的最大值为 (参考数据: ) ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。) 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7 位评委给某班的评分分别为 82, 90, 65, 68, 80, 92, 80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余 5 个评分为有效数据，则( ) A. 有效数据的极差是 10 B. 有效数据的平均数是 80 C. 有效数据的第 80 百分位数是 86 D. 有效数据的方差是 50 10. 已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则下列说法正确的是 ( ) A. B. C. D. 数列 是公差为 1 的等差数列 11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 下列结论正确的是( ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 的最小值为 5 C. 以线段 为直径的圆与直线 相切 D. 若 ,则直线 的斜率为 第 II 卷(非选择题，共 92 分) 三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分。) 12. 已知平面向量 ，若 方向相反，则 _____. 13. 已知 ，则 _____. 14. 在正三棱柱 中，直线 与平面 所成角为 ，且四棱锥 的体积为 ，则该三棱柱的外接球的表面积为_____. 四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15. (本小题满分 13 分) 在 中,内角 的对边分别为 . 若 . (1)已知 ，求三角形的三边长； (2)若 ， 为 中点，求 外接圆半径. 16. (本小题满分 15 分) 如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ， 为等边三角形,平面 平面 为 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. (本小题满分 15 分) 2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言- 动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,在通过第一轮的条件下,他们通过第二轮的概率依次为 ,假设他们之间通过与否相互独立. (1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率； (2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望. 18. (本小题满分 17 分) 已知函数 (其中 为自然对数的底数). (1)当 时， ... ...
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