长春市实验中学 2025-2026 学年下学期第一学程考试 高三数学试卷 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题 目要求的. 1. 复数 的虚部为( ) A、 -8 B. 8 C. 8i D. -8i 2. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 3 已知直线 ，平面 ，则 “ ” 是 “ ” 的() A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 定义 矩阵 ,若 ,则 A. 图象关于 中心对称 B. 图象关于直线 对称 C. 是周期为 的奇函数 D. 在区间 上的最大值为 1 5. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 都有 成立，若当 时， ，则 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， . 若 ，有 恒成立,则实数 的最大值为( ) A. 3 B. C. D. 7. 已知双曲线 ，在双曲线 左支上任取两个不同的点 ， ， 都有 ,则双曲线 的离心率 的最大值为( ) A. B. 3 C. D. 2 8. 设 为两个相互独立的随机事件,且 . 已知在 至少一个发生的条件下, 恰有一个发生的概率是 ,则 ( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 下列说法正确的是( ) A. 数据1,2,3,5,7,8的 25% 分位数为 2 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若数据 的平均数为 2,则数据 的平均数为 0 D. 在独立性检验中， 的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10. 已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,若 ,且 成等差数列, 则下列说法正确的有( ) A. B. C. D. 11. 已知曲线 为曲线 上的动点，则下列结论正确的是( ) A. 曲线 关于直线 对称 B. 点 不可能在直线 上 C. 曲线 与圆 有 4 个公共点 D. 记曲线 所围成的区域的面积为 ,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在 的展开式中，含 项的系数为_____. 13. 在平面直角坐标系 中,圆 的半径为 1,点 与点 不重合,若圆 上存在不同的两点 ，使得 ，则 的取值范围是_____. 14. 已知圆锥的母线为3,底面半径为1,球 与圆锥的侧面、底面均相切. 球 与球 外切, 且与圆锥的侧面相切. 球心 位于圆锥的顶点和 之间，则球 的体积为_____ 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分)在 中，内角 的对边分别为 . 若 . (1)已知 ，求三角形的三边长； (2)若 ， 为 中点，公众号悦爱学堂求 外接圆半径. 16.(15分)如图，边长为2的正方形 所在的平面与平面 垂直，且 . (1)证明:平面 平面 ； (2)当 时，求平面 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分)已知点 在抛物线 上， 为 的焦点，过点 的直线 交 于 ， 两点 . (1)求直线 的方程； (2)B为 上一点(介于点 之间)，线段 于线段 交于点 的面积与 的面积相等，求点 的坐标. 18. (17分)近些年人工智能(AI)经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透. 现有 三台机器人进行象棋比赛，比赛规则:每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛. 设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等,各局比赛结果相互独立且没有平局,首局比赛由 和 对弈， 进行“调试”， 表示第 局 进行“调试”的概率( )。 (1)求前 3 局中， 不“调试”的概率； (2)求 ； (3)若 表示前 5 局比赛中 “调试”的次数，求随机变量 的分布列和数学期望 . 19.(17分)已知函数 . (1)求 在点 的切线方程； (2) ，求实数 的取值范围； (3)请阅读下列两段材料: 材料 1: 阶导数定义: 设函数 的 阶导数 仍是可导函数，则 的导数 称为 的 阶导数,记为 ,即 . 材料 2: 一般地,函数 在 处的 阶帕德逼近 ... ...
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