2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元测试：第6章　平面向量及其应用(含解析)

第6章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　) A.(3,2) B C.(-3,-2) D 2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 3.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=(λ∈R),则λ等于(　　) A.2 B.3 C.-2 D.-3 4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则()等于(　　) A.- B.- C D 5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　) A.2 B.4 C D.3 6.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是(　　) A km B km C km D km 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是(　　) A.|a|=|b| B.|a-b|= C.a-b与b垂直 D.a∥(a-2b) 10.在△ABC中,下列说法正确的是(　　) A.>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件 B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件 C.“||=||”是“A为直角”的充要条件 D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若,则点M是边BC的中点 B.若=2,则点M在边BC的延长线上 C.若=-,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,. 12.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　　. 13.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,设a,c的夹角为θ,则cos θ=　　　　　. 14.在△ABC中,∠ABC=,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 四、解答题:本题共5小题,.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π. (1)求|a|的值; (2)求证:a+b与a-b互相垂直. 16.(15分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3). (1)当m=8时,将表示; (2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 17.(15分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状. 18.(17分)如图,A,B两个小岛相距21 n mile,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9 n mile/h的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近 求出两船的最近距离. 19.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2. (1)求bc; (2)若=1,求△ABC的面积. 第6章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6), (-9,-6)=(-3,-2). C 2.a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B. B 3.因为=-, 所以3=-+4, 则3-3=-,即3, 故=-3,则λ=-3. D 4.由题意可知点P是△ABC的重心,则=0,故()=-=-=- A 5.由三角形的面积公式,得2=acsin B=c,得c=4 ∵b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25, ∴b=5. =2R(R为△ABC外接圆的半径), ∴R= C 6.|a-3b|=|3a+b| |a-3b|2=|3a+b|2 a2-6a·b+9b2=9a2+ ... ...