2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修二单元测试 第四章 数列(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台 2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修二单元测试 第四章 数列 一、选择题 1．已知等差数列的前n项和为，，，则的公差为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2．公差不为零的等差数列的首项为1,,则的公差为( ) A.2 B.4 C. D. 3．在等差数列中,为其前n项和.若,则( ) A.420 B.210 C.198 D.105 4．已知等比数列满足,则( ) A.1 B.3 C.4 D.15 5．在等差数列中,,则的公差为( ) A. B. C.1 D.2 6．1080不同的正因数个数为( ) A.32 B.36 C.48 D.50 7．敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1层）是一个边长为4的正方形,连接该正方形各边的中点得到第2层正方形,再连接第2层正方形各边的中点得到第3层正方形 ,以此类推.则第6层正方形的边长为( ) A. B. C.1 D. 8．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、多项选择题 9．在等比数列中,已知,则数列的通项公式是( ) A. B. C. D. 10．若正整数的公约数只有1,则称互质.设n为正整数,则函数表示小于或等于n且与n互质的正整数的个数,例如,.函数以其首位研究者欧拉命名,称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是( ) A. B. C. D. 11．已知无穷等差数列的前n项和为,且,则( ) A.在数列中,最大 B.在数列中,最大 C. D.当时, 三、填空题 12．2和9的等比中项是_____. 13．已知数列满足,则_____. 14．已知等比数列的前n项和,且满足,则_____. 15．已知等差数列的前n项和为,且,,则_____. 四、解答题 16．在证明：，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？ 17．在①成等比数列,②,③这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答. 已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,且满足_____,_____. (1)求的通项公式； (2)求. 18．在等差数列中,是该数列的前n项和,. （1）求数列的通项公式. （2）若,求的最小值. 19．已知等差数列中,,. (1)求的值； (2)若数列满足：,证明：数列是等差数列. 20．求和:. 参考答案 1．答案：B 解析：已知等差数列的前n项和为，，， 所以，解得， 所以的公差为1. 2．答案：C 解析：因为等差数列的首项为1,, 所以的公差为, 故选：C. 3．答案：B 解析：设等差数列的公差为d,则, 整理得,解得. 所以. 4．答案：B 解析：设的公比为, 因为,解得, 所以. 故选:B. 5．答案：D 解析：设等差数列的公差为d,又因为, 所以, 所以,即, 故选:D. 6．答案：A 解析：由题意可知,则 1080的正因数, 因为r可取0,1,2,3,s可取,t可取0,1,2,3, 所以1080不同的正因数个数为. 故选:A. 7．答案：B 解析：设第n层正方形边长为, 则,即, 可知数列是以4为首项,为公比的等比数列, 则,可得. 8．答案：D 解析：由题意得，，即， 解得， 又因为，所以. 故选D. 9．答案：AC 解析：设等比数列的公比为q,则, 当时,.当时,. 故选:AC 10．答案：AC 解析：因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1,2,3,4, 小于或等于的正整数中与互质的正整数为1,3,7,9,所以,故A正确; 当时,,故B错误; 因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29,31,共16个,所以,故C正确; 因为当时,,故D错误, 故选:AC. 11．答案：AD 解析：由题知,无穷等差数列的前n项和为,且, 所以,所以等差数列为递减数列, 所以在数列中,最大；当时,； 故选：AD. 12．答案： 解析：令等比中项为x,则. 13．答案： 解析：由数列满足, 可得数列构成首项为,公差为的等差数列, 所以. 14．答案：3 解析：由题意,等比数列的前n项和. 而,解得. 15．答案：14 解法二:因为为等差数列,所以为等差数列,设,则,,三项成等差数列,再通过等差中项的性质求解即可. 解析：因为,且,则, 于是,则,. 解法2由于为等差数列,设,则,, ... ...