(课件网) 专题讲座七 三角函数的值域和最值 第五章 三角函数 题型 y＝A sin （ωx＋φ）＋B型函数的最值问题 B 【解题感悟】 函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[m，n]上的值域问题 令t＝ωx＋φ，原函数变为g（t）＝A sin t，t∈[t1，t2]，其中t1＝ωm＋φ，t2＝ωn＋φ. 判断函数g（t）＝A sin t，t∈[t1，t2]的单调性，根据单调性得出结论. ·情况一：[t1，t2]内包含最大值点和最小值点 值域为[－A，A] ·情况二：g（t）在[t1，t2]上单调 值域为[g（t2），g（t1）]或[g（t1），g（t2）] ·情况三：[t1，t2]内包含最小值点不包含最大值点 值域为[－A，max{g（t1），g（t2）}] ·情况四：[t1，t2]内包含最大值点不包含最小值点 值域为[min{g（t1），g（t2）}，A] 注意：当A＞0，ω＜0时，利用诱导公式将解析式进行等价变形，转化为以上情况进行求解. CD 题型 可化为y＝f（ sin x）（或f（ cos x））型函数的值域问题 1 【解题感悟】 求三角函数的值域（最值）的三种类型及解题思路 形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的三角函数化为y＝A sin （ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）. 形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）. 形如y＝a sin x cos x＋b（ sin x± cos x）＋c的三角函数，可先设t＝ sin x± cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）. C. －1 B 题型 数形结合求三角函数的值域 A 【解题感悟】 三角函数y＝ sin x，y＝ cos x，y＝tan x的值域. 函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 点（－ cos x， sin x ）的轨迹为圆x2＋y2＝1，如图所示. 函数值域即为点（2，2）与单位圆x2＋y2＝1上的点连线的斜率的范围，由图可知，过点（2，2）且与单位圆相切的切线斜率存在，不妨设斜率为k. ∴切线方程为y－2＝k（x－2）， 即kx－y－2k＋2＝0.
