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课件网) 专题讲座十一 球与几何体的切接问题 第八章 立体几何 专题要点知识 1. 长方体的外接球 （1）球心：体对角线的中点. 2. 正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球 5. 几何体外接球、内切球的重要补充 （1）外接球 ①补形为长方体 需要补形为长方体的几何体往往具备两个特征： 侧棱垂直底面，底面有直角———墙角模型、鳖臑模型、阳马模型、堑堵模型；三棱锥三组对棱对应相等. ②补形为圆柱体 此类几何体在补形为圆柱后需要优先计算出底面圆半径，然后利用圆柱高的一半来搭建勾股定理. 第一步：O1为△ABC的外心，算出圆O1的半径r，圆柱高h满足h＝2OO1； ③补形为圆锥体 补形为圆锥体的模型往往要求顶点、球心、底面外心三点共线，其特征条件往往描述为a.正棱锥；b.顶点在底面的射影是底面外心；c.侧棱长相等. 解题步骤：第一步，先找出小圆O1的半径AO1＝r，再找出棱锥的高PO1＝h（也是圆锥的高）； ⑤三角形拼接与球大圆剖面 几何体中可以看作存在一个二面角形态，此时往往需要将两个三角形的外接圆分别找出来，外接球球心位于过小圆圆心的小圆垂线的交点处，可以通过几何关系求解外接球半径R. ①正棱锥的内切球半径 正三棱锥内切球半径 正四棱锥内切球半径 正三棱锥内切球半径 正四棱锥内切球半径 ②普通有内切球的几何体的内切球半径 方法：等体积法，即几何体体积＝内切球球心与各个面构成的棱锥的体积之和. 以三棱锥为例： （3）正方体的截面 ①用一个平面α去截一个正方体 若截面与正方体的一条棱平行，则截面是一个矩形. 若截面与正方体任何一条棱都不平行，则截面从边的数量划分为三角形、四边形、五边形、六边形；截面图形形状可以是等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形、正六边形等；截面图形不可能是直角三角形、直角梯形（斜截面图形不含直角）、钝角三角形、正五边形. 从正方体可以类比出棱柱的截面形状，对于n棱柱，其截面形状最多成为（n＋2）边形（其中n≥4）. ②多面体截面作图技巧 a.相邻平面的点，延长找棱上的交点；b.互相平行的平面找平行线；c.连接棱上交点. 题型 几何体外接球 一、柱体的外接球 B 解析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径最小. 设球的半径为R. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有公共点， C 【解题感悟】 柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在柱体中的位置，找到球的半径或直径与柱体相关元素之间的关系，结合原有柱体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积或体积公式进行正确计算. 二、锥体、台体的外接球 A. 40π B. 80π C. 30π D. 60π D 解析：若正三角形的边长为a， 结合题意，得AB＝3，A1B1＝6. 如图，取△ABC，△A1B1C1外接圆的圆心O，O2，正三棱台ABC－A1B1C1外接球的球心O1， 连接OA，OO2，O1A，O1A1，O2A1，设点A在底面上的射影为M，连接AM， 设正三棱台外接球的半径为R， 则O1A＝O1A1＝R， 解析：如图，S，A，B，C两两连接构成三棱锥S－ABC，将三棱锥S－ABC补形为直三棱柱SMN－ABC，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球. 2 【解题感悟】 1.锥体的外接球问题关键是确定球心位置 将锥体还原或补形为正方体或长方体或棱柱，进而确定球心. 锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上. 球心到各顶点的距离都相等. 2. 棱台（圆台）的外接球 棱台（圆台）的外接球的球心一定在过棱台（圆台）的上、下底面中心的直线上，求解时应根据棱台（圆台）的上、下底面半径计算出球心与上、下底面之间的距离，根据两距离之和或差的绝对值 ... ...
