2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展25 立体几何中的截面问题（精讲+精练） 一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 四、正方体中的基本截面类型 【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABC 【分析】 根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】 当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 【典例2】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为_____. 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形， 由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解 【详解】由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得 ， 所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为： 【典例3】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是_____. 【答案】 【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长. 【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点， 连接，易证，则五边形为所求截面. 因为，所以， 则，故该截面的周长是.故答案为：. 【典例4】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个 ... ...
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