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北师大版(2019)
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必修 第二册
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第一章 三角函数
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4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
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4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
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单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件(共45张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
日期:2025-04-03
科目:高中数学
类型:课件
来源:二一教育课件站
关键词:
函数
,
正弦
,
余弦
,
数值
,
课文
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精讲
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12
张
(
课件网
) 单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的基本性质 锐角的正弦函数与余弦函数 任意角的正弦函数与弦函数 温故知新 学习目标 1. 通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. (重点) 2. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值,值域、周期性、单调性).(难点) 3. 掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.(重点) 课文精讲 观察图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(u,v) ,当自变量α变化时,点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v =sinα和余弦函数u=cosα的定义.不难看出它们具有以下基本性质. 导入 课文精讲 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 定义域 最大(小)值、值域 当自变量α∈R时,0≤|sinα| ≤ 1,0 ≤|cosα| ≤1. 当α=2kπ+ ,k∈Z时,正弦函数v=sinα取得最大值1; 当α=2kπ- ,k∈Z时,正弦函数取得最小值-1. 当α=2kπ,k∈Z时,余弦函数u=cosα取得最大值1; 当α=(2k+1) π, k∈Z时,余弦函数取得最小值-1. 课文精讲 因为函数v =sinα,u=cosα均能取到-1和1之间的任意值,所以它们的值域均为[-1,1]. 最大(小)值、值域 课文精讲 根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有 终边相同的角的正弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(α+2kπ)=sinα,α∈R; 终边相同的角的余弦函数值相等,即对任意k∈Z,cos(α+2kπ)=cosα,α∈R. 周期性 课文精讲 上述两个等式说明:对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变,所以正弦函数v= sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0,2kπ均是它们的周期,最小正周期为2π. 周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质. 周期性 课文精讲 单调性 图① 根据正弦函数的定义,在单位圆中,如图①,当角α由 增加到 时,sinα的值由-1增加到1; 课文精讲 单调性 图② 如图②,当角α由sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[ , ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减. 课文精讲 单调性 由正弦函数的周期性可知,对任意的k∈Z ,正弦 函数在区间[2kπ- , 2kπ+ ]上单调递增,在区间[2kπ+ , 2kπ+ ]上单调递减. 由余弦函数的周期性可知,对任意的k∈Z ,余弦函数在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增,其值从-1增大到1;在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,其值从1减到-1. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 根据正弦函数和余弦函数的定义,如图,在平面直角坐标系中,当点P(u,v)在上半平面时,正弦函数(v= sinα)值为正,即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时,正弦函数值为正; 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 当点P在x轴上时,正弦函数值为零;当点P在平面直角坐标系的下半平面时,正弦函数值为负,即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时,正弦函数值为负. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 同理,当点P在平面直角坐标系的右半平面时,余弦函数值为正,即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时,余弦函数值为正;当点P在y轴上时,余弦函数值为零;当点P在左半平面时,余弦函数值为负,即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时,余弦函数值为负. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 x y O (-) (-) (+) (+) sinα x y O (+) (-) (-) (+) cosα 正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示: 典型例题 例1:借助单位圆,讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性. 典型例题 例2:求函数v=cosα在区间 上的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时自变量α的值. 已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若 , 则cosα的值为( ) 综合练习 B 综合练习 不等式sinx<0, 的解集为 ... ...
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