2025届开封新世纪学校高三数学月考试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. A. 2. B 3. D． 4. A 5. B. 6. C. 7. B. 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ACD 10. ACD. 11. BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，. 12. 7 13. . 14.. 四、解答题：本题共5小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）因为，由正弦定理有：， 所以， ， ， ， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 因为， 所以有：，，或，（舍）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 所以 ， 因为，所以， 令，则，， 令，， 根据函数解析式，在上单调递减， 因为，，所以， 所以. 16. （1）证明：取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又因为三棱柱的所有棱长都是2， 所以四边形为菱形，所以，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，因为三棱柱的所有棱长都为2，且， 可得为等边三角形，且为的中点，所以， 由（1）知：平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 17. （1），. ， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有378人. （2）由题知的可能取值为0，1，2，3. 依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为，，， 所以， ， ， . 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. （1）当时，，设直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的斜率， 又，故的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故的方程为，即. （2）①因为在上恰有两个零点， 所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点. 因，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示， 所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数的取值范围为. ②由①知，， 所以，， 所以， 不妨设，则， 要证，只需证， 因为，所以，所以， 则只需证. 令，则只需证当时，恒成立， 令， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，恒成立，所以原不等式得证. 19. （1）在中，由，得， 所以，且，即， （i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为.2025届开封新世纪学校高三数学月考试卷 120分钟 150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是 ... ...
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