上海市向明中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( ) A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 2.若(3 + 2 ) ( ∈ )的展开式中第5项的二项式系数最大，则 不可能取值( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3.已知无穷等比数列{ }，若∑ +∞ =1 = 3，则∑ +∞ =1 | |的取值范围为( ) A. {3} B. [3,+∞) C. (0,3] D. (0,+∞) 4.设 为数列{ }的前 项和， 为常数且 ∈ ， ≥ 2，有以下两个命题： ①若{ }是公差不为零的等差数列，则 1 2 … = 0是 1 2 … 2 1 = 0的充分非必要条件； ②若{ }是等比数列，则 + +1 = 0是 1 2 … = 0的充要条件，那么( ) A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 二、填空题：本题共 12 小题，共 42 分。 5.空间中，直线与平面所成角的范围为_____． 6.表面积为16 的球的半径为_____． 7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为_____． 8.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_____． 29.满足等式 16 = 5 5 16 的所有整数 组成的集合为_____． 2 110.(2 )6展开式中 3项的系数为_____. (用数字作答) 11.已知数列{ }的通项公式为 = 2 ，若数列{ }是严格增数列，则实数 的取值范围是_____． 12.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1), = (1, , 1), = (2, 4,2)且 ⊥ , // ，则| + | =_____． 13.将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有_____种. 14.将一个棱长为 的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了_____． 15.已知棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为侧面 1 1 中心， 在棱 上运动， 正方体表面上有一点 满足 = 1 1 + 1 ( ≥ 0, ≥ 0)，则所有满足 条件的 点构成图形的面积为_____． 第 1 页，共 7 页 16.从1、2、3、…、10这10个数中任取4个不同的数 1、 2、 3、 4，则存在1 ≤ < ≤ 4且 ， ∈ ，使 得| | = 1的取法种数为_____. (用数字作答) 三、解答题：本题共 5 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分) 如图所示，已知点 ∈平面 ，且直线 ∩直线 = ，点 ， 与点 ， 分别在平面 的两侧，直线 ∩ = ， 直线 ∩ = .求证： ， ， 三点共线． 18.(本小题8分) 如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1 = 2，点 ， 分别为棱 ， 1 1的中点． (1)求异面直线 1 与 的夹角； (2)求点 到平面 1 1 的距离． 19.(本小题10分) 已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1． (1)若数列{ }为等差数列， 10 = 100，求数列{ }的通项公式； 1 (2)若数列{ }为等比数列， 4 = ，求满足 > 100 时，正整数 的最小值． 8 20.(本小题10分) 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 ，四边形 是等腰梯形， // ， ∩ = ， ⊥ 平面 ，∠ = 90°， = 1， = 2， 在 上． 第 2 页，共 7 页 (1)为保证风筝飞行稳定，需要在 处引一尼绳，使得 = 3 ，求证：直线 //平面 ； (2)实验表明，当tan∠ = 2时，风筝表现最好，求此时直线 与平面 所成角的正弦值． 21.(本小题12分) 如图，已知四面体 中， ⊥平面 ， ⊥ ． (1)求证： ⊥ ； (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中， = = = 1， 有一根彩带经过面 与面 ，且彩带的两个端点分别固定在点 和点 处，求彩带的最小长度； (3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 2； 任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概 ... ...
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