2025年中考数学二轮专题复习第2章 对称与旋转压轴题讲练第6节 半角模型 (含解析)

第6节 半角模型 前言：如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化. 半角模型一般条件如下：(1) 角含半角；(2) 邻边相等；(3)对角互补. 其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点. 中小学教育资源及组卷应用平台 知识导航 模型认识 如图,在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,AB=AD,点E、F分别在 BC、CD上, 且 求证: EF=BE+DF. 证明: 延长CD至点G使得DG=BE, ∵∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADG=180°, ∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中, ∴∠BAE=∠DAG, 即∠GAF=∠EAF, 又AE=AD, ∴△EAF≌△GAF(SAS) ∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF. 正方形中的半角 如图, 在正方形ABCD中, E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°, 连接EF. 结论1: EF=BE+DF. 若E、F分别在 CB、DC延长线上时, 则EF=DF-BE . 总结反思 作辅助线时， 时而截长， 时而补短， 截长、补短只是形式， 关键点在于已知半角的情况下， 构造相应的另一个半角， 此处通过旋转即可得另一半角. 若想要将一个三角形恰好地旋转到另一位置， 需要：邻边相等， 对角互补. 正方形可满足要求. 结论2: 连接AD, 与AE、AF分别交于 M、N.则 模型进阶 结论3：若 则点F是CD边中点. 反之亦然. 引例1:如图1,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE, △DCF分别沿DE、DF向内折叠得到图2, 此时DA与DC重合A、C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为 . 解析: 从∠EDF=45°考虑到半角模型,从4和6之间的关系考虑结果： 显然正方形边长为12, ∴DG=12. 引例2: 如图, 在△ABC中,tan∠BAC=1, AD⊥BC于点 D,若BD=6, CD=4, 则△ABC的面积是 . 解析： 面积为60. 结论4: AE平分∠BEF, AF平分∠DFE. 引例3：如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0, 0)、A(0, 4)、B(3, 0) 为顶点的 Rt△AOB, 其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P，且点 P恰好在反比例函数 的图像上，则k的值为( ) A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 解析: 过点 P分别作PM、PN、PQ垂直于y轴、x轴、AB, 则△PMA≌△PQA, △PNB≌△PQB,∴∠APB=45°, AB=AM+BN, 又OM=ON,∴AM=2, BN=3, OM=ON=6, ∴k=36. ∴选A. 模型总结 在正方形ABCD中, 条件∠EAF=45°等价于: (1) EF=BE+DF; 且 (3) EA平分∠BEF或FA平分∠DFE. 以上在正方形中有其一则可推其他结论. 引例4：如图，在边长为1 的正方形ABCD中, 动点E、F分别在边AB、CD上, 将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点 M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合), 点C落在点N处, MN与CD交于点 P,设BE=x. (1)当 时，求x的值； (2)随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化 如变化，请说明理由； 如不变，请求出该定值； 解析:(1) BE=x, 则AE=1-x, 在 Rt△AEM中, 代入得： 解得： 故x的值为 (2)不变. 连接BM、BP, 过点B作BH⊥MP交MP于点H, ∠BME+∠BMH=90°, ∠EBM+∠BMA=90°,又∠BME=∠EBM, ∴∠BMH=∠BMA, ∴△BAM≌△BHM, ∴AM=HM, BA=BH,连接BP, 则△BHP≌△BCP, ∴HP=CP, ∴MP=MH+HP=AM+CP, ∴C△PDM=DM+DP+MP=DA+DC=2. ∴△PDM的周长不变，周长始终是2. 模型拓展 结论5: A、B、E、N四点共圆, A、D、F、M四点共圆. 结论6: M、N、F、E四点共圆. 证明: ∵∠MEF=∠MFN, ∴M、N、F、E四点共圆. 结论7: △MAN∽△MDA, △NAM∽△NBA. 结论8: 连接AC, 则△AFC∽△AMB, △AEC∽△AND.且 结论9: △AFE∽△AMN. 且 由结论6可得∠ANM=∠AEF, ∠AMN=∠AFE. ∴△AFE∽△AMN. 由结论8可得： 真题演练 1. 如图, 正方形ABCD的边长为2, 点 E、F分别在边 AD、CD上, 若∠EBF=45°, 则△EDF 的周长等于 . 2. 如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点 F,连接EF,过点A ... ...